Dini's theorem

Dini's theorem In the mathematical field of analysis, Dini's theorem says that if a monotone sequence of continuous functions converges pointwise on a compact space and if the limit function is also continuous, then the convergence is uniform.[1] Conteúdo 1 Declaração formal 2 Prova 3 Notas 4 References Formal statement If {estilo de exibição X} is a compact topological space, e {estilo de exibição (f_{n})_{nin mathbb {N} }} is a monotonically increasing sequence (significado {estilo de exibição f_{n}(x)leq f_{n+1}(x)} para todos {estilo de exibição nin mathbb {N} } e {estilo de exibição xin X} ) of continuous real-valued functions on {estilo de exibição X} which converges pointwise to a continuous function {displaystyle fcolon Xto mathbb {R} } , then the convergence is uniform. The same conclusion holds if {estilo de exibição (f_{n})_{nin mathbb {N} }} is monotonically decreasing instead of increasing. The theorem is named after Ulisse Dini.[2] This is one of the few situations in mathematics where pointwise convergence implies uniform convergence; the key is the greater control implied by the monotonicity. The limit function must be continuous, since a uniform limit of continuous functions is necessarily continuous.

Proof Let {displaystyle varepsilon >0} be given. For each {estilo de exibição nin mathbb {N} } , deixar {estilo de exibição g_{n}=f-f_{n}} , e deixar {estilo de exibição E_{n}} be the set of those {estilo de exibição xin X} de tal modo que {estilo de exibição g_{n}(x)N} e {estilo de exibição x} is a point in {estilo de exibição X} , então {estilo de exibição |f(x)-f_{n}(x)|

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