Dini's theorem

Dini's theorem In the mathematical field of analysis, Dini's theorem says that if a monotone sequence of continuous functions converges pointwise on a compact space and if the limit function is also continuous, then the convergence is uniform.[1] Contenuti 1 Dichiarazione formale 2 Prova 3 Appunti 4 References Formal statement If {stile di visualizzazione X} is a compact topological space, e {stile di visualizzazione (f_{n})_{nin mathbb {N} }} is a monotonically increasing sequence (significato {stile di visualizzazione f_{n}(X)leq f_{n+1}(X)} per tutti {displaystyle nin mathbb {N} } e {stile di visualizzazione xin X} ) of continuous real-valued functions on {stile di visualizzazione X} which converges pointwise to a continuous function {displaystyle fcolon Xto mathbb {R} } , then the convergence is uniform. The same conclusion holds if {stile di visualizzazione (f_{n})_{nin mathbb {N} }} is monotonically decreasing instead of increasing. The theorem is named after Ulisse Dini.[2] This is one of the few situations in mathematics where pointwise convergence implies uniform convergence; the key is the greater control implied by the monotonicity. The limit function must be continuous, since a uniform limit of continuous functions is necessarily continuous.

Proof Let {displaystyle varepsilon >0} be given. For each {displaystyle nin mathbb {N} } , permettere {stile di visualizzazione g_{n}=f-f_{n}} , e lascia {stile di visualizzazione E_{n}} be the set of those {stile di visualizzazione xin X} tale che {stile di visualizzazione g_{n}(X)N} e {stile di visualizzazione x} is a point in {stile di visualizzazione X} , poi {stile di visualizzazione |f(X)-f_{n}(X)|

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