Teorema De Moivre–Laplace

Teorema De Moivre–Laplace (Redirecionado de Teorema de Moivre–Laplace) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Dentro de um sistema cujos compartimentos são preenchidos de acordo com a distribuição binomial (como o de Galton "máquina de feijão", mostrado aqui), dado um número suficiente de tentativas (aqui as fileiras de pinos, cada um dos quais causa uma queda "feijão" cair para a esquerda ou para a direita), uma forma representando a distribuição de probabilidade de k sucessos em n tentativas (veja a parte inferior da figura. 7) corresponde aproximadamente à distribuição gaussiana com média np e variância np(1−p), assumindo que as tentativas são independentes e os sucessos ocorrem com probabilidade p. Considere lançar um conjunto de n moedas um número muito grande de vezes e contar o número de "cabeças" que resulta cada vez. O número possível de caras em cada lance, k, corre de 0 para n ao longo do eixo horizontal, enquanto o eixo vertical representa a frequência relativa de ocorrência do resultado k caras. A altura de cada ponto é, portanto, a probabilidade de observar k caras ao lançar n moedas (uma distribuição binomial baseada em n tentativas). De acordo com o teorema de Moivre-Laplace, à medida que n cresce, a forma da distribuição discreta converge para a curva gaussiana contínua da distribuição normal.

Na teoria da probabilidade, o teorema de Moivre-Laplace, que é um caso especial do teorema do limite central, afirma que a distribuição normal pode ser usada como uma aproximação da distribuição binomial sob certas condições. Em particular, o teorema mostra que a função de massa de probabilidade do número aleatório de "sucessos" observado em uma série de {estilo de exibição m} ensaios independentes de Bernoulli, cada um com probabilidade {estilo de exibição p} de sucesso (uma distribuição binomial com {estilo de exibição m} ensaios), converge para a função de densidade de probabilidade da distribuição normal com média {estilo de exibição, por exemplo} e desvio padrão {estilo de texto {quadrado {np(1-p)}}} , Como {estilo de exibição m} cresce grande, assumindo {estilo de exibição p} não é {estilo de exibição 0} ou {estilo de exibição 1} .

O teorema apareceu na segunda edição da Doutrina das Chances de Abraham de Moivre, publicado em 1738. Embora de Moivre não tenha usado o termo "Testes de Bernoulli", ele escreveu sobre a distribuição de probabilidade do número de vezes "cabeças" aparece quando uma moeda é lançada 3600 vezes.[1] Esta é uma derivação da função gaussiana particular usada na distribuição normal.

É um caso especial do teorema do limite central porque um processo de Bernoulli pode ser pensado como o desenho de variáveis ​​aleatórias independentes de uma distribuição discreta bimodal com probabilidade diferente de zero apenas para valores 0 e 1. Nesse caso, a distribuição binomial modela o número de sucessos (ou seja, o número de 1s), Considerando que o teorema do limite central afirma que, dado suficientemente grande n, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal. No entanto, porque neste caso a fração de sucessos (ou seja, o número de 1s dividido pelo número de tentativas, n) é igual à média amostral, a distribuição das frações de sucessos (descrito pela distribuição binomial dividida pela constante n) e a distribuição das médias amostrais (aproximadamente normal com n grande devido ao teorema do limite central) são equivalentes.

Conteúdo 1 Teorema 1.1 Prova 1.2 Prova alternativa 2 Veja também 3 Notas Teorema À medida que n cresce, para k na vizinhança de np podemos aproximar[2][3] {estilo de exibição {n escolha k},p^{k}q^{n-k}simeq {fratura {1}{quadrado {2npq}}},e^{-{fratura {(k-np)^{2}}{2npq}}},qquad p+q=1, p,q>0} no sentido de que a razão entre o lado esquerdo e o lado direito converge para 1 como n → ∞.

Prova O teorema pode ser enunciado mais rigorosamente como segue: {estilo de exibição à esquerda(X!,-!,npright)!/!{quadrado {npq}}} , com {estilo de texto estilo de exibição X} uma variável aleatória binomialmente distribuída, aproxima-se da normal padrão como {estilo de exibição m!para !infty } , com a razão da massa de probabilidade de {estilo de exibição X} para a densidade normal limitante sendo 1. Isso pode ser mostrado para um ponto não nulo e finito arbitrário {estilo de exibição c} . Na curva sem escala para {estilo de exibição X} , isso seria um ponto {estilo de exibição k} dado por {estilo de exibição k=np+c{quadrado {npq}}} Por exemplo, com {estilo de exibição c} no 3, {estilo de exibição k} fica 3 desvios padrão da média na curva sem escala.

A distribuição normal com média {mostre o estilo dele } e desvio padrão {estilo de exibição sigma } é definido pela equação diferencial (DO) {estilo de exibição f'!(x)!=!-!,{fratura {x-nós }{sigma^{2}}}f(x)} com uma condição inicial definida pelo axioma de probabilidade {estilo de exibição int _{-infty }^{infty }!f(x),dx!=!1} .

O limite de distribuição binomial se aproxima da normal se o binomial satisfaz este DE. Como o binômio é discreto, a equação começa como uma equação de diferenças cujo limite se transforma em um DE. As equações de diferença usam a derivada discreta, {estilo de exibição estilo de texto p(k!+!1)!-!p(k)} , a mudança para o tamanho do passo 1. Como {estilo de exibição estilo de texto m!para !infty } , a derivada discreta torna-se a derivada contínua. Portanto, a prova precisa mostrar apenas que, para a distribuição binomial sem escala, {estilo de exibição {fratura {f'!(x)}{f!(x)}}!cdot !deixei(-{fratura {sigma^{2}}{x-nós }}certo)!para !1} Como {estilo de exibição m!para !infty } .

O resultado necessário pode ser mostrado diretamente: {estilo de exibição {começar{alinhado}{fratura {f'!(x)}{f!(x)}}{fratura {npq}{np!,-!,k}}!&={fratura {fenda(n,k+1direita)-fenda(n,certo)}{fenda(n,certo)}}{fratura {quadrado {npq}}{-c}}\&={fratura {np-k-q}{kq+q}}{fratura {quadrado {npq}}{-c}}\&={fratura {-c{quadrado {npq}}-q}{npq+cq{quadrado {npq}}+q}}{fratura {quadrado {npq}}{-c}}\&to 1end{alinhado}}} A última é válida porque o termo {displaystyle -cnpq} domina tanto o denominador quanto o numerador como {estilo de exibição m!para !infty } .

Como {estilo de exibição estilo de texto k} toma apenas valores integrais, a constante {estilo de exibição estilo de texto c} está sujeito a um erro de arredondamento. No entanto, o máximo deste erro, {estilo de exibição estilo de texto {0.5}/!{quadrado {npq}}} , é um valor evanescente.[4] Prova alternativa A prova consiste em transformar o lado esquerdo (no enunciado do teorema) para o lado direito por três aproximações.

Primeiro, pela fórmula de Stirling, o fatorial de um grande número n pode ser substituído pela aproximação {estilo de exibição m!simeq n^{n}e^{-n}{quadrado {2alfinete}}qquad {texto{Como }}até o infinito .} Desta forma {estilo de exibição {começar{alinhado}{n escolha k}p^{k}q^{n-k}&={fratura {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}q^{n-k}\&simeq {fratura {n^{n}e^{-n}{quadrado {2alfinete}}}{k^{k}e^{-k}{quadrado {2pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{quadrado {2pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\&={quadrado {fratura {n}{2pi kleft(n-kright)}}}{fratura {n^{n}}{k^{k}deixei(n-kright)^{n-k}}}p^{k}q^{n-k}\&={quadrado {fratura {n}{2pi kleft(n-kright)}}}deixei({fratura {np}{k}}certo)^{k}deixei({fratura {nq}{n-k}}certo)^{n-k}fim{alinhado}}} Próximo, a aproximação {estilo de exibição {tfrac {k}{n}}topo} é usado para combinar a raiz acima com a raiz desejada no lado direito.

{estilo de exibição {começar{alinhado}{n escolha k}p^{k}q^{n-k}&simeq {quadrado {fratura {1}{2alfinete{fratura {k}{n}}deixei(1-{fratura {k}{n}}certo)}}}deixei({fratura {np}{k}}certo)^{k}deixei({fratura {nq}{n-k}}certo)^{n-k}\&simeq {fratura {1}{quadrado {2npq}}}deixei({fratura {np}{k}}certo)^{k}deixei({fratura {nq}{n-k}}certo)^{n-k}qquad p+q=1end{alinhado}}} Finalmente, a expressão é reescrita como exponencial e a aproximação da série de Taylor para ln(1+x) é usado: {estilo de exibição ln esquerda(1+xdireita)simeq x-{fratura {x^{2}}{2}}+{fratura {x^{3}}{3}}-cdots } Então {estilo de exibição {começar{alinhado}{n escolha k}p^{k}q^{n-k}&simeq {fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{À esquerda(deixei({fratura {np}{k}}certo)^{k}certo)+À esquerda(deixei({fratura {nq}{n-k}}certo)^{n-k}certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-kln esquerda({fratura {k}{np}}certo)+(k-n)À esquerda({fratura {n-k}{nq}}certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-kln esquerda({fratura {np+x{quadrado {npq}}}{np}}certo)+(k-n)À esquerda({fratura {n-np-x{quadrado {npq}}}{nq}}certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-kln esquerda({1+x{quadrado {fratura {q}{np}}}}certo)+(k-n)À esquerda({1-x{quadrado {fratura {p}{nq}}}}certo)certo}qquad p+q=1\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-kleft({x{quadrado {fratura {q}{np}}}}-{fratura {x^{2}q}{2np}}+cdots certo)+(k-n)deixei({-x{quadrado {fratura {p}{nq}}}-{fratura {x^{2}p}{2nq}}}-cdots certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{deixei(-np-x{quadrado {npq}}certo)deixei({x{quadrado {fratura {q}{np}}}}-{fratura {x^{2}q}{2np}}+cdots certo)+deixei(np+x{quadrado {npq}}-certo)deixei(-x{quadrado {fratura {p}{nq}}}-{fratura {x^{2}p}{2nq}}-cdots certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{deixei(-np-x{quadrado {npq}}certo)deixei(x{quadrado {fratura {q}{np}}}-{fratura {x^{2}q}{2np}}+cdots certo)-deixei(nq-x{quadrado {npq}}certo)deixei(-x{quadrado {fratura {p}{nq}}}-{fratura {x^{2}p}{2nq}}-cdots certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{deixei(-x{quadrado {npq}}+{fratura {1}{2}}x^{2}q-x^{2}q+cdots certo)+deixei(x{quadrado {npq}}+{fratura {1}{2}}x^{2}p-x^{2}p-cdots certo)certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-{fratura {1}{2}}x^{2}q-{fratura {1}{2}}x^{2}p-cdots certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-{fratura {1}{2}}x^{2}(p+q)-cdots certo}\&simeq {fratura {1}{quadrado {2npq}}}exp esquerda{-{fratura {1}{2}}x^{2}certo}\&={fratura {1}{quadrado {2npq}}}e^{fratura {-(k-np)^{2}}{2npq}}\fim{alinhado}}} Cada " {simeq de estilo de exibição } " no argumento acima é uma afirmação de que duas quantidades são assintoticamente equivalentes à medida que n aumenta, no mesmo sentido que no enunciado original do teorema - ou seja., que a razão de cada par de quantidades se aproxima 1 como n → ∞.

Veja também a distribuição de Poisson é uma aproximação alternativa da distribuição binomial para grandes valores de n. Notas ^ Walker, Helena M (1985). "De Moivre sobre a lei da probabilidade normal" (PDF). Em Smith, David Eugene (ed.). Um livro fonte em matemática. Dover. p. 78. ISBN 0-486-64690-4. Mas embora a realização de um número infinito de Experimentos não seja praticável, no entanto, as conclusões anteriores podem muito bem ser aplicadas a números finitos, desde que sejam ótimos, por exemplo, E se 3600 Experimentos sejam feitos, fazer n = 3600, portanto ½ n será = 1800, e ½√n 30, então a Probabilidade do Evento não aparecer mais do que 1830 vezes, nem mais raramente do que 1770, vai ser 0.682688. ^ Papoulis, Atanásio; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probabilidade, Variáveis ​​aleatórias, e Processos Estocásticos (4ª edição). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3. ^ Feller, C. (1968). Uma introdução a teoria da probabilidade e as suas aplicações. Volume. 1. Wiley. Seção VII.3. ISBN 0-471-25708-7. ^ Thamattoor, Uma alegria (2018). "Limite normal do binômio via derivada discreta". O Jornal de Matemática da Faculdade. 49 (3): 216-217. doi:10.1080/07468342.2018.1440872. S2CID 125977913. Categorias: Teorema do limite central