Teorema di De Moivre-Laplace

Teorema di De Moivre-Laplace (Reindirizzato da Teorema di de Moivre-Laplace) Vai alla navigazione Vai alla ricerca All'interno di un sistema i cui contenitori sono riempiti secondo la distribuzione binomiale (come quello di Galton "macchina per fagioli", mostrato qui), dato un numero sufficiente di prove (qui le file di spilli, ognuno dei quali provoca una caduta "fagiolo" cadere verso sinistra o verso destra), una forma che rappresenta la distribuzione di probabilità di k successi in n prove (vedere la parte inferiore della fig. 7) corrisponde approssimativamente alla distribuzione gaussiana con media np e varianza np(1-p), supponendo che le prove siano indipendenti e che i successi avvengano con probabilità p. Considera di lanciare un set di n monete un numero molto elevato di volte e di contare il numero di "teste" quel risultato ogni volta. Il possibile numero di teste per ogni lancio, K, corre da 0 a n lungo l'asse orizzontale, mentre l'asse verticale rappresenta la relativa frequenza di occorrenza del risultato k teste. L'altezza di ciascun punto è quindi la probabilità di osservare k teste quando si lanciano n monete (una distribuzione binomiale basata su n prove). Secondo il teorema di de Moivre-Laplace, quando n diventa grande, la forma della distribuzione discreta converge alla curva gaussiana continua della distribuzione normale.

Nella teoria delle probabilità, il teorema di de Moivre-Laplace, che è un caso speciale del teorema del limite centrale, afferma che la distribuzione normale può essere utilizzata come approssimazione della distribuzione binomiale in determinate condizioni. In particolare, il teorema mostra che la funzione massa di probabilità del numero casuale di "successi" osservato in una serie di {stile di visualizzazione n} prove indipendenti di Bernoulli, ciascuno avente probabilità {stile di visualizzazione p} di successo (una distribuzione binomiale con {stile di visualizzazione n} prove), converge alla funzione di densità di probabilità della distribuzione normale con media {stile di visualizzazione ad es.} e deviazione standard {stile di testo {mq {np(1-p)}}} , come {stile di visualizzazione n} diventa grande, supponendo {stile di visualizzazione p} non è {stile di visualizzazione 0} o {stile di visualizzazione 1} .

Il teorema è apparso nella seconda edizione de La dottrina delle possibilità di Abraham de Moivre, pubblicato in 1738. Sebbene de Moivre non abbia usato il termine "prove Bernoulliane", ha scritto sulla distribuzione di probabilità del numero di volte "teste" appare quando si lancia una moneta 3600 volte.[1] Questa è una derivazione della particolare funzione gaussiana utilizzata nella distribuzione normale.

È un caso speciale del teorema del limite centrale perché un processo di Bernoulli può essere pensato come il disegno di variabili casuali indipendenti da una distribuzione discreta bimodale con probabilità diversa da zero solo per valori 0 e 1. In questo caso, la distribuzione binomiale modella il numero di successi (cioè., il numero di 1s), mentre il teorema del limite centrale afferma che, dato sufficientemente grande n, la distribuzione delle medie campionarie sarà approssimativamente normale. Tuttavia, perché in questo caso la frazione di successi (cioè., il numero di 1 diviso per il numero di prove, n) è uguale alla media campionaria, la distribuzione delle frazioni di successo (descritto dalla distribuzione binomiale divisa per la costante n) e la distribuzione delle medie campionarie (approssimativamente normale con n grande a causa del teorema del limite centrale) sono equivalenti.

Contenuti 1 Teorema 1.1 Prova 1.2 Prova alternativa 2 Guarda anche 3 Note Teorema Al crescere di n, per k nell'intorno di np possiamo approssimare[2][3] {stile di visualizzazione {n scegli k},p^{K}q^{n-k}simeq {frac {1}{mq {2npq}}},e^{-{frac {(k-np)^{2}}{2npq}}},qquad p+q=1, p,q>0} nel senso che converge il rapporto tra il lato sinistro e il lato destro 1 come n → ∞.

Dimostrazione Il teorema può essere enunciato più rigorosamente come segue: {stile di visualizzazione a sinistra(X!,-!,npright)!/!{mq {npq}}} , insieme a {stile di visualizzazione stile di testo X} una variabile aleatoria binomiale distribuita, si avvicina allo standard normale come {stile di visualizzazione n!a !infty } , con il rapporto della massa di probabilità di {stile di visualizzazione X} all'essere di densità normale limitante 1. Questo può essere mostrato per un punto arbitrario diverso da zero e finito {stile di visualizzazione c} . Sulla curva non graduata per {stile di visualizzazione X} , questo sarebbe un punto {stile di visualizzazione k} dato da {stile di visualizzazione k=np+c{mq {npq}}} Per esempio, insieme a {stile di visualizzazione c} a 3, {stile di visualizzazione k} rimane 3 deviazioni standard dalla media nella curva non graduata.

La distribuzione normale con media {displaystyle lui } e deviazione standard {displaystyle sigma } è definito dall'equazione differenziale (DI) {stile di visualizzazione f'!(X)!=!-!,{frac {x-noi }{sigma ^{2}}}f(X)} con una condizione iniziale posta dall'assioma di probabilità {displaystyle int _{-infty }^{infty }!f(X),dx!=!1} .

Il limite di distribuzione binomiale si avvicina alla normale se il binomio soddisfa questo DE. Poiché il binomio è discreto, l'equazione inizia come un'equazione differenziale il cui limite si trasforma in un DE. Le equazioni alle differenze usano la derivata discreta, {stile di visualizzazione stile testo p(K!+!1)!-!p(K)} , la modifica per la dimensione del passo 1. Come {stile display stile testo n!a !infty } , la derivata discreta diventa la derivata continua. Quindi la prova deve mostrare solo questo, per la distribuzione binomiale non scalata, {stile di visualizzazione {frac {f'!(X)}{f!(X)}}!cdot !sinistra(-{frac {sigma ^{2}}{x-noi }}Giusto)!a !1} come {stile di visualizzazione n!a !infty } .

Il risultato richiesto può essere mostrato direttamente: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}{frac {f'!(X)}{f!(X)}}{frac {npq}{np!,-!,K}}!&={frac {plesso(n,k+1destra)-plesso(n,Giusto)}{plesso(n,Giusto)}}{frac {mq {npq}}{-c}}\&={frac {np-k-q}{kq+q}}{frac {mq {npq}}{-c}}\&={frac {-c{mq {npq}}-q}{npq+cq{mq {npq}}+q}}{frac {mq {npq}}{-c}}\&to 1end{allineato}}} L'ultimo vale perché il termine {displaystyle -cnpq} domina sia il denominatore che il numeratore come {stile di visualizzazione n!a !infty } .

Come {stile di visualizzazione stile testo k} prende solo valori integrali, la costante {stile di visualizzazione stile testo c} è soggetto ad un errore di arrotondamento. Tuttavia, il massimo di questo errore, {stile di visualizzazione stile testo {0.5}/!{mq {npq}}} , è un valore evanescente.[4] Dimostrazione alternativa La dimostrazione consiste nel trasformare il membro di sinistra (nell'enunciato del teorema) a destra di tre approssimazioni.

Primo, secondo la formula di Stirling, il fattoriale di un numero elevato n può essere sostituito con l'approssimazione {stile di visualizzazione n!simeq n^{n}e^{-n}{mq {2spillo}}qquad {testo{come }}infty .} così {stile di visualizzazione {inizio{allineato}{n scegli k}p^{K}q^{n-k}&={frac {n!}{K!(n-k)!}}p^{K}q^{n-k}\&simeq {frac {n^{n}e^{-n}{mq {2spillo}}}{k^{K}e^{-K}{mq {2pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{mq {2pi (n-k)}}}}p^{K}q^{n-k}\&={mq {frac {n}{2pi kleft(n-kright)}}}{frac {n^{n}}{k^{K}sinistra(n-kright)^{n-k}}}p^{K}q^{n-k}\&={mq {frac {n}{2pi kleft(n-kright)}}}sinistra({frac {np}{K}}Giusto)^{K}sinistra({frac {nq}{n-k}}Giusto)^{n-k}fine{allineato}}} Prossimo, l'approssimazione {stile di visualizzazione {tfrac {K}{n}}superiore} viene utilizzato per abbinare la radice sopra alla radice desiderata sul lato destro.

{stile di visualizzazione {inizio{allineato}{n scegli k}p^{K}q^{n-k}&simeq {mq {frac {1}{2spillo{frac {K}{n}}sinistra(1-{frac {K}{n}}Giusto)}}}sinistra({frac {np}{K}}Giusto)^{K}sinistra({frac {nq}{n-k}}Giusto)^{n-k}\&simeq {frac {1}{mq {2npq}}}sinistra({frac {np}{K}}Giusto)^{K}sinistra({frac {nq}{n-k}}Giusto)^{n-k}qquad p+q=1end{allineato}}} Infine, l'espressione viene riscritta come esponenziale e l'approssimazione della serie di Taylor per ln(1+X) viene usato: {stile di visualizzazione ln sinistra(1+xdestra)simeq x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdot } Quindi {stile di visualizzazione {inizio{allineato}{n scegli k}p^{K}q^{n-k}&simeq {frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{a sinistra(sinistra({frac {np}{K}}Giusto)^{K}Giusto)+a sinistra(sinistra({frac {nq}{n-k}}Giusto)^{n-k}Giusto)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-kln a sinistra({frac {K}{np}}Giusto)+(k-n)a sinistra({frac {n-k}{nq}}Giusto)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-kln a sinistra({frac {np+x{mq {npq}}}{np}}Giusto)+(k-n)a sinistra({frac {n-np-x{mq {npq}}}{nq}}Giusto)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-kln a sinistra({1+X{mq {frac {q}{np}}}}Giusto)+(k-n)a sinistra({1-X{mq {frac {p}{nq}}}}Giusto)Giusto}qquad p+q=1\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-kleft({X{mq {frac {q}{np}}}}-{frac {x^{2}q}{2np}}+cdot a destra)+(k-n)sinistra({-X{mq {frac {p}{nq}}}-{frac {x^{2}p}{2nq}}}-cdot a destra)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{sinistra(-np-x{mq {npq}}Giusto)sinistra({X{mq {frac {q}{np}}}}-{frac {x^{2}q}{2np}}+cdot a destra)+sinistra(np+x{mq {npq}}-giusto)sinistra(-X{mq {frac {p}{nq}}}-{frac {x^{2}p}{2nq}}-cdot a destra)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{sinistra(-np-x{mq {npq}}Giusto)sinistra(X{mq {frac {q}{np}}}-{frac {x^{2}q}{2np}}+cdot a destra)-sinistra(nq-x{mq {npq}}Giusto)sinistra(-X{mq {frac {p}{nq}}}-{frac {x^{2}p}{2nq}}-cdot a destra)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{sinistra(-X{mq {npq}}+{frac {1}{2}}x^{2}q-x^{2}q+cpunti a destra)+sinistra(X{mq {npq}}+{frac {1}{2}}x^{2}p-x^{2}p-cdot a destra)Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-{frac {1}{2}}x^{2}q-{frac {1}{2}}x^{2}p-cdot a destra}\&={frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-{frac {1}{2}}x^{2}(p+q)-cdot a destra}\&simeq {frac {1}{mq {2npq}}}esp a sinistra{-{frac {1}{2}}x^{2}Giusto}\&={frac {1}{mq {2npq}}}e^{frac {-(k-np)^{2}}{2npq}}\fine{allineato}}} A testa " {displaystyle simeq } " nell'argomento precedente c'è un'affermazione che due quantità sono asintoticamente equivalenti all'aumentare di n, nello stesso senso dell'affermazione originale del teorema, cioè, che il rapporto di ciascuna coppia di quantità si avvicina 1 come n → ∞.

Si veda anche la distribuzione di Poisson è un'approssimazione alternativa della distribuzione binomiale per grandi valori di n. Note ^ Walker, Helen M (1985). "De Moivre sulla legge della probabilità normale" (PDF). In Smith, Davide Eugenio (ed.). Un libro di origine in matematica. Dover. p. 78. ISBN 0-486-64690-4. Ma anche se prendere un numero infinito di Esperimenti non è praticabile, tuttavia le precedenti Conclusioni possono benissimo essere applicate a numeri finiti, purché siano fantastici, per esempio, Se 3600 Si fanno esperimenti, fare n = 3600, quindi ½n sarà = 1800, e ½√n 30, quindi la Probabilità dell'Evento non compare più spesso di 1830 volte, né più raramente di 1770, sarà 0.682688. ^ Papoulis, Atanasio; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probabilità, Variabili casuali, e processi stocastici (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3. ^ Amico, w. (1968). Un'introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni. vol. 1. Wiley. Sezione VII.3. ISBN 0-471-25708-7. ^ Thamattore, Una gioia (2018). "Limite normale del binomio tramite la derivata discreta". Il giornale di matematica del college. 49 (3): 216–217. doi:10.1080/07468342.2018.1440872. S2CID 125977913. Categorie: Teorema del limite centrale