Satz von De Moivre-Laplace

Satz von De Moivre-Laplace (Umgeleitet von Theorem von de Moivre-Laplace) Zur Navigation springen Zur Suche springen Innerhalb eines Systems, dessen Bins nach der Binomialverteilung gefüllt sind (wie Galtons "Bohnenmaschine", hier gezeigt), bei einer ausreichenden Anzahl von Versuchen (hier die Stiftreihen, jedes davon verursacht einen Abfall "Bohne" nach links oder rechts fallen), eine Form, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung von k Erfolgen in n Versuchen darstellt (see bottom of Fig. 7) entspricht ungefähr der Gaußschen Verteilung mit Mittelwert np und Varianz np(1−S), unter der Annahme, dass die Versuche unabhängig sind und Erfolge mit Wahrscheinlichkeit p auftreten. Stellen Sie sich vor, einen Satz von n Münzen sehr oft zu werfen und die Anzahl zu zählen "Köpfe" dieses Ergebnis jedes Mal. Die mögliche Kopfzahl bei jedem Wurf, k, läuft von 0 bis n entlang der horizontalen Achse, während die vertikale Achse die relative Häufigkeit des Auftretens des Ergebnisses k Köpfe darstellt. Die Höhe jedes Punktes ist also die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen von n Münzen k Köpfe zu beobachten (eine Binomialverteilung basierend auf n Versuchen). Nach dem Satz von de Moivre-Laplace, wenn n groß wird, die Form der diskreten Verteilung konvergiert zur kontinuierlichen Gaußschen Kurve der Normalverteilung.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, das de Moivre-Laplace-Theorem, was ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes ist, besagt, dass die Normalverteilung unter bestimmten Bedingungen als Annäherung an die Binomialverteilung verwendet werden kann. Im Speziellen, der Satz zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit Massenfunktion der Zufallszahl von "Erfolge" in einer Reihe beobachtet {Anzeigestil n} Unabhängige Bernoulli-Studien, jeweils mit Wahrscheinlichkeit {Anzeigestil p} des Erfolgs (eine Binomialverteilung mit {Anzeigestil n} Versuche), gegen die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung mit Mittelwert konvergiert {Anzeigestil z.B.} und Standardabweichung {textstyle {quadrat {np(1-p)}}} , wie {Anzeigestil n} wird groß, vorausgesetzt {Anzeigestil p} ist nicht {Anzeigestil 0} oder {Anzeigestil 1} .

Das Theorem erschien in der zweiten Ausgabe von The Doctrine of Chances von Abraham de Moivre, veröffentlicht in 1738. Obwohl de Moivre den Begriff nicht verwendet hat "Bernoulli-Prozesse", er schrieb über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Häufigkeit "Köpfe" erscheint, wenn eine Münze geworfen wird 3600 mal.[1] Dies ist eine Ableitung der speziellen Gaußschen Funktion, die in der Normalverteilung verwendet wird.

Es ist ein Sonderfall des zentralen Grenzwertsatzes, da ein Bernoulli-Prozess als das Ziehen unabhängiger Zufallsvariablen aus einer bimodalen diskreten Verteilung mit einer Wahrscheinlichkeit ungleich Null nur für Werte angesehen werden kann 0 und 1. In diesem Fall, Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der Erfolge (d.h., die Zahl der 1er), während der zentrale Grenzwertsatz dies besagt, bei ausreichend großem n, die Verteilung der Stichprobenmittelwerte wird ungefähr normal sein. Jedoch, weil in diesem Fall der Bruchteil der Erfolge (d.h., die Anzahl der Einsen dividiert durch die Anzahl der Versuche, n) gleich dem Stichprobenmittelwert ist, die Verteilung der Erfolgsanteile (beschrieben durch die Binomialverteilung dividiert durch die Konstante n) und die Verteilung der Probenmittel (annähernd normal mit großem n aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes) sind gleichwertig.

Inhalt 1 Satz 1.1 Nachweisen 1.2 Alternativer Beweis 2 Siehe auch 3 Notes Theorem As n grows large, für k in der Nähe von np können wir approximieren[2][3] {Anzeigestil {n wähle k},p^{k}q^{n-k}simeq {frac {1}{quadrat {2npq}}},e^{-{frac {(k-np)^{2}}{2npq}}},qquad p+q=1, p,q>0} in dem Sinne, dass das Verhältnis der linken Seite zur rechten Seite gegen konvergiert 1 als n → ∞.

Proof The theorem can be more rigorously stated as follows: {Anzeigestil links(X!,-!,nrecht)!/!{quadrat {npq}}} , mit {Anzeigestil Textstil X} eine binomialverteilte Zufallsvariable, nähert sich dem Standard normal als {Anzeigestil n!zu !unendlich } , mit dem Verhältnis der Wahrscheinlichkeitsmasse von {Anzeigestil X} zum begrenzenden normalen Dichtewesen 1. Dies kann für einen beliebigen von Null verschiedenen und endlichen Punkt gezeigt werden {Anzeigestil c} . Auf der unskalierten Kurve für {Anzeigestil X} , das wäre ein Punkt {Anzeigestil k} gegeben von {Anzeigestil k=np+c{quadrat {npq}}} Zum Beispiel, mit {Anzeigestil c} bei 3, {Anzeigestil k} bleibt 3 Standardabweichungen vom Mittelwert in der unskalierten Kurve.

Die Normalverteilung mit Mittelwert {zeige ihn an } und Standardabweichung {Display-Sigma } ist durch die Differentialgleichung definiert (VON) {Anzeigestil f'!(x)!=!-!,{frac {x-uns }{Sigma ^{2}}}f(x)} mit einer durch das Wahrscheinlichkeitsaxiom gesetzten Anfangsbedingung {Anzeigestil int _{-unendlich }^{unendlich }!f(x),dx!=!1} .

Die Binomialverteilungsgrenze nähert sich dem Normalwert, wenn die Binomialverteilung dieses DE erfüllt. Da das Binomial diskret ist, beginnt die Gleichung als Differenzengleichung, deren Grenzwert sich in ein DE verwandelt. Differenzengleichungen verwenden die diskrete Ableitung, {displaystyle textstyle p(k!+!1)!-!p(k)} , die Änderung für die Schrittweite 1. Wie {displaystyle textstyle n!zu !unendlich } , die diskrete Ableitung wird zur stetigen Ableitung. Daher braucht der Beweis nur das zu zeigen, für die unskalierte Binomialverteilung, {Anzeigestil {frac {f'!(x)}{f!(x)}}!cdot !links(-{frac {Sigma ^{2}}{x-uns }}Rechts)!zu !1} wie {Anzeigestil n!zu !unendlich } .

Das gewünschte Ergebnis kann direkt angezeigt werden: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}{frac {f'!(x)}{f!(x)}}{frac {npq}{np!,-!,k}}!&={frac {gepflückt(n,k+1rechts)-gepflückt(n,Rechts)}{gepflückt(n,Rechts)}}{frac {quadrat {npq}}{-c}}\&={frac {np-k-q}{kq+q}}{frac {quadrat {npq}}{-c}}\&={frac {-c{quadrat {npq}}-q}{npq+cq{quadrat {npq}}+q}}{frac {quadrat {npq}}{-c}}\&to 1end{ausgerichtet}}} Das letzte gilt wegen des Begriffs {Anzeigestil -cnpq} dominiert sowohl der Nenner als auch der Zähler als {Anzeigestil n!zu !unendlich } .

Wie {displaystyle textstyle k} nimmt nur ganzzahlige Werte an, die Konstante {displaystyle textstyle c} einem Rundungsfehler unterliegt. Jedoch, das Maximum dieses Fehlers, {displaystyle textstyle {0.5}/!{quadrat {npq}}} , ist ein verschwindender Wert.[4] Alternate proof The proof consists of transforming the left-hand side (in der Aussage des Theorems) nach rechts um drei Näherungen.

Zuerst, nach der Formel von Stirling, die Fakultät einer großen Zahl n kann durch die Näherung ersetzt werden {Anzeigestil n!simeq n^{n}e^{-n}{quadrat {2Pi n}}Quad {Text{wie }}nto infty .} Daher {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}{n wähle k}p^{k}q^{n-k}&={frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}q^{n-k}\&simeq {frac {n^{n}e^{-n}{quadrat {2Pi n}}}{k^{k}e^{-k}{quadrat {2pi-k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{quadrat {2Pi (n-k)}}}}p^{k}q^{n-k}\&={quadrat {frac {n}{2pi kleft(n-krecht)}}}{frac {n^{n}}{k^{k}links(n-krecht)^{n-k}}}p^{k}q^{n-k}\&={quadrat {frac {n}{2pi kleft(n-krecht)}}}links({frac {np}{k}}Rechts)^{k}links({frac {nq}{n-k}}Rechts)^{n-k}Ende{ausgerichtet}}} Nächste, die Annäherung {Anzeigestil {tfrac {k}{n}}oben} wird verwendet, um die obige Wurzel an die gewünschte Wurzel auf der rechten Seite anzupassen.

{Anzeigestil {Start{ausgerichtet}{n wähle k}p^{k}q^{n-k}&simeq {quadrat {frac {1}{2Pi n{frac {k}{n}}links(1-{frac {k}{n}}Rechts)}}}links({frac {np}{k}}Rechts)^{k}links({frac {nq}{n-k}}Rechts)^{n-k}\&simeq {frac {1}{quadrat {2npq}}}links({frac {np}{k}}Rechts)^{k}links({frac {nq}{n-k}}Rechts)^{n-k}qquad p+q=1end{ausgerichtet}}} Endlich, der Ausdruck wird als Exponential und die Näherung der Taylor-Reihe für ln umgeschrieben(1+x) wird genutzt: {Anzeigestil links(1+xrichtig)simeq x-{frac {x^{2}}{2}}+{frac {x^{3}}{3}}-cdots } Dann {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}{n wähle k}p^{k}q^{n-k}&simeq {frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{Bin links(links({frac {np}{k}}Rechts)^{k}Rechts)+Bin links(links({frac {nq}{n-k}}Rechts)^{n-k}Rechts)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-kln links({frac {k}{np}}Rechts)+(k-n)Bin links({frac {n-k}{nq}}Rechts)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-kln links({frac {np+x{quadrat {npq}}}{np}}Rechts)+(k-n)Bin links({frac {n-np-x{quadrat {npq}}}{nq}}Rechts)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-kln links({1+x{quadrat {frac {q}{np}}}}Rechts)+(k-n)Bin links({1-x{quadrat {frac {p}{nq}}}}Rechts)Rechts}qquad p+q=1\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-klinks({x{quadrat {frac {q}{np}}}}-{frac {x^{2}q}{2np}}+cdots richtig)+(k-n)links({-x{quadrat {frac {p}{nq}}}-{frac {x^{2}p}{2nq}}}-cdots richtig)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{links(-np-x{quadrat {npq}}Rechts)links({x{quadrat {frac {q}{np}}}}-{frac {x^{2}q}{2np}}+cdots richtig)+links(np+x{quadrat {npq}}-richtig)links(-x{quadrat {frac {p}{nq}}}-{frac {x^{2}p}{2nq}}-cdots richtig)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{links(-np-x{quadrat {npq}}Rechts)links(x{quadrat {frac {q}{np}}}-{frac {x^{2}q}{2np}}+cdots richtig)-links(nq-x{quadrat {npq}}Rechts)links(-x{quadrat {frac {p}{nq}}}-{frac {x^{2}p}{2nq}}-cdots richtig)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{links(-x{quadrat {npq}}+{frac {1}{2}}x^{2}q-x^{2}q+cPunkte rechts)+links(x{quadrat {npq}}+{frac {1}{2}}x^{2}p-x^{2}p-cdots richtig)Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-{frac {1}{2}}x^{2}q-{frac {1}{2}}x^{2}p-cdots richtig}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-{frac {1}{2}}x^{2}(p+q)-cdots richtig}\&simeq {frac {1}{quadrat {2npq}}}exp links{-{frac {1}{2}}x^{2}Rechts}\&={frac {1}{quadrat {2npq}}}e^{frac {-(k-np)^{2}}{2npq}}\Ende{ausgerichtet}}} Jeder " {Anzeigestil simeq } " im obigen Argument ist eine Aussage, dass zwei Größen asymptotisch äquivalent sind, wenn n zunimmt, im gleichen Sinne wie in der ursprünglichen Aussage des Theorems – d.h., dass sich das Verhältnis jedes Größenpaares nähert 1 als n → ∞.

Siehe auch Die Poisson-Verteilung ist eine alternative Annäherung an die Binomialverteilung für große Werte von n. Anmerkungen ^ Wanderer, Helen M (1985). "De Moivre über das Gesetz der normalen Wahrscheinlichkeit" (Pdf). Bei Schmid, David Eugen (ed.). Ein Quellenbuch der Mathematik. Dover. p. 78. ISBN 0-486-64690-4. Aber obwohl das Durchführen einer unendlichen Anzahl von Experimenten nicht praktikabel ist, dennoch können die vorangegangenen Schlussfolgerungen sehr gut auf endliche Zahlen angewendet werden, vorausgesetzt, sie sind großartig, zum Beispiel, wenn 3600 Experimente durchgeführt werden, mache n = 3600, daher wird ½n = sein 1800, und ½√n 30, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht öfter eintritt als 1830 mal, noch seltener als 1770, wird sein 0.682688. ^ Papoulis, Athanasios; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Wahrscheinlichkeit, Zufällige Variablen, und stochastische Prozesse (4Das D.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3. ^ Feller, W. (1968). Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen. Vol. 1. Wiley. Abschnitt VII.3. ISBN 0-471-25708-7. ^ Thamatoor, Eine Freude (2018). "Normalgrenzwert des Binoms über die diskrete Ableitung". Das College-Mathematik-Journal. 49 (3): 216–217. doi:10.1080/07468342.2018.1440872. S2CID 125977913. Kategorien: Zentraler Grenzwertsatz