Il teorema di Darboux (analisi) In matematica, Darboux's theorem is a theorem in real analysis, named after Jean Gaston Darboux. It states that every function that results from the differentiation of another function has the intermediate value property: the image of an interval is also an interval.
When ƒ is continuously differentiable (ƒ in C1([un,b])), this is a consequence of the intermediate value theorem. But even when ƒ′ is not continuous, Darboux's theorem places a severe restriction on what it can be.
Contenuti 1 Il teorema di Darboux 2 Prove 3 Darboux function 4 Appunti 5 External links Darboux's theorem Let {stile di visualizzazione I} be a closed interval, {displaystyle fcolon Ito mathbb {R} } be a real-valued differentiable function. Quindi {stile di visualizzazione f'} has the intermediate value property: Se {stile di visualizzazione a} e {stile di visualizzazione b} are points in {stile di visualizzazione I} insieme a {stile di visualizzazione ay>f'(b)} . Permettere {displaystyle varphi colon Ito mathbb {R} } tale che {stile di visualizzazione varphi (t)=f(t)-yt} . If it is the case that {stile di visualizzazione f'(un)0} , we know {stile di visualizzazione varphi } cannot attain its maximum value at {stile di visualizzazione a} . (If it did, poi {stile di visualizzazione (varfi (t)-varfi (un))/(t-a)leq 0} per tutti {latta di visualizzazione (un,b]} , il che implica {displaystyle varphi '(un)leq 0} .) Allo stesso modo, perché {displaystyle varphi '(b)=f'(b)-y<0} , we know {displaystyle varphi } cannot attain its maximum value at {displaystyle b} . Therefore, {displaystyle varphi } must attain its maximum value at some point {displaystyle xin (a,b)} . Hence, by Fermat's theorem, {displaystyle varphi '(x)=0} , i.e. {displaystyle f'(x)=y} . Proof 2. The second proof is based on combining the mean value theorem and the intermediate value theorem.[1][2] Define {displaystyle c={frac {1}{2}}(a+b)} . For {displaystyle aleq tleq c,} define {displaystyle alpha (t)=a} and {displaystyle beta (t)=2t-a} . And for {displaystyle cleq tleq b,} define {displaystyle alpha (t)=2t-b} and {displaystyle beta (t)=b} . Thus, for {displaystyle tin (a,b)} we have {displaystyle aleq alpha (t)
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