Teorema da corda constante

Constant chord theorem constant chord length: {estilo de exibição |P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|} constant diameter length: {estilo de exibição |P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|} The constant chord theorem is a statement in elementary geometry about a property of certain chords in two intersecting circles.

The circles {estilo de exibição k_{1}} e {estilo de exibição k_{2}} intersect in the points {estilo de exibição P} e {estilo de exibição Q} . {estilo de exibição Z_{1}} is an arbitrary point on {estilo de exibição k_{1}} being different from {estilo de exibição P} e {estilo de exibição Q} . The lines {estilo de exibição Z_{1}P} e {estilo de exibição Z_{1}Q} intersect the circle {estilo de exibição k_{2}} dentro {estilo de exibição P_{1}} e {displaystyle Q_{1}} . The constant chord theorem then states that the length of the chord {estilo de exibição P_{1}Q_{1}} dentro {estilo de exibição k_{2}} does not depend on the location of {estilo de exibição Z_{1}} sobre {estilo de exibição k_{1}} , in other words the length is constant.

The theorem stays valid when {estilo de exibição Z_{1}} coincides with {estilo de exibição P} ou {estilo de exibição Q} , provided one replaces the then undefined line {estilo de exibição Z_{1}P} ou {estilo de exibição Z_{1}Q} by the tangent on {estilo de exibição k_{1}} no {estilo de exibição Z_{1}} .

A similar theorem exists in three dimensions for the intersection of two spheres. The spheres {estilo de exibição k_{1}} e {estilo de exibição k_{2}} intersect in the circle {estilo de exibição k_{s}} . {estilo de exibição Z_{1}} is arbitrary point on the surface of the first sphere {estilo de exibição k_{1}} , that is not on the intersection circle {estilo de exibição k_{s}} . The extended cone created by {estilo de exibição k_{s}} e {estilo de exibição Z_{1}} intersects the second sphere {estilo de exibição k_{2}} in a circle. The length of the diameter of this circle is constant, that is it does not depend on the location of {estilo de exibição Z_{1}} sobre {estilo de exibição k_{1}} .

Nathan Altshiller Court described the constant chord theorem 1925 in the article sur deux cercles secants for the Belgian math journal Mathesis. Eight years later he published On Two Intersecting Spheres in the American Mathematical Monthly, which contained the 3-dimensional version. Later it was included in several textbooks, such as Ross Honsberger's Mathematical Morsels and Roger B. Nelsen's Proof Without Words II, where it was given as a problem, or the German geometry textbook Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten by Halbeisen, Hungerbühler and Läuchli, where it was given as a theorem.

Referências Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Com relações harmônicas para seções cônicas: Pérolas de geometria clássica. Springer 2016, ISBN 9783662530344, p. 16 (Alemão) Roger B. Nelson: Proof Without Words II. MAA, 2000, p. 29 Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, ISBN 978-0883853030, pp. 126–127 Nathan Altshiller Court: On Two Intersecting Spheres. O American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, pp. 265-269 (JSTOR) Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, p. 453 (Francês) External links Wikimedia Commons has media related to Constant chord theorem. constant chord theorem as problem at cut-the-knot.org Categories: Theorems about circlesEuclidean geometry