Constant chord theorem

Constant chord theorem constant chord length: {stile di visualizzazione |P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|} constant diameter length: {stile di visualizzazione |P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|} The constant chord theorem is a statement in elementary geometry about a property of certain chords in two intersecting circles.

The circles {stile di visualizzazione k_{1}} e {stile di visualizzazione k_{2}} intersect in the points {stile di visualizzazione P} e {stile di visualizzazione Q} . {stile di visualizzazione Z_{1}} is an arbitrary point on {stile di visualizzazione k_{1}} being different from {stile di visualizzazione P} e {stile di visualizzazione Q} . The lines {stile di visualizzazione Z_{1}P} e {stile di visualizzazione Z_{1}Q} intersect the circle {stile di visualizzazione k_{2}} in {stile di visualizzazione P_{1}} e {stile di visualizzazione Q_{1}} . The constant chord theorem then states that the length of the chord {stile di visualizzazione P_{1}Q_{1}} in {stile di visualizzazione k_{2}} does not depend on the location of {stile di visualizzazione Z_{1}} Su {stile di visualizzazione k_{1}} , in other words the length is constant.

The theorem stays valid when {stile di visualizzazione Z_{1}} coincide con {stile di visualizzazione P} o {stile di visualizzazione Q} , provided one replaces the then undefined line {stile di visualizzazione Z_{1}P} o {stile di visualizzazione Z_{1}Q} by the tangent on {stile di visualizzazione k_{1}} a {stile di visualizzazione Z_{1}} .

A similar theorem exists in three dimensions for the intersection of two spheres. The spheres {stile di visualizzazione k_{1}} e {stile di visualizzazione k_{2}} intersect in the circle {stile di visualizzazione k_{S}} . {stile di visualizzazione Z_{1}} is arbitrary point on the surface of the first sphere {stile di visualizzazione k_{1}} , that is not on the intersection circle {stile di visualizzazione k_{S}} . The extended cone created by {stile di visualizzazione k_{S}} e {stile di visualizzazione Z_{1}} intersects the second sphere {stile di visualizzazione k_{2}} in a circle. The length of the diameter of this circle is constant, that is it does not depend on the location of {stile di visualizzazione Z_{1}} Su {stile di visualizzazione k_{1}} .

Nathan Altshiller Court described the constant chord theorem 1925 in the article sur deux cercles secants for the Belgian math journal Mathesis. Eight years later he published On Two Intersecting Spheres in the American Mathematical Monthly, which contained the 3-dimensional version. Later it was included in several textbooks, such as Ross Honsberger's Mathematical Morsels and Roger B. Nelsen's Proof Without Words II, where it was given as a problem, or the German geometry textbook Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten by Halbeisen, Hungerbühler and Läuchli, where it was given as a theorem.

Riferimenti Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbueler, Juan Läuchli: Con relazioni armoniche a sezioni coniche: Perle di geometria classica. Springer 2016, ISBN 9783662530344, p. 16 (Tedesco) Roger B. Nelsen: Proof Without Words II. MAA, 2000, p. 29 Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, ISBN 978-0883853030, pp. 126–127 Nathan Altshiller Court: On Two Intersecting Spheres. Il mensile matematico americano, Gruppo musicale 40, Nr. 5, 1933, pp. 265–269 (JSTOR) Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Gruppo musicale 39, 1925, p. 453 (francese) External links Wikimedia Commons has media related to Constant chord theorem. constant chord theorem as problem at cut-the-knot.org Categories: Theorems about circlesEuclidean geometry