# Teorema del grafo chiuso

Closed graph theorem This article is about closed graph theorems in general topology. For the closed graph theorem in functional analysis, see Closed graph theorem (analisi funzionale). The graph of the cubic function {stile di visualizzazione f(X)=x^{3}-9X} on the interval {stile di visualizzazione [-4,4]} is closed because the function is continuous. The graph of the Heaviside function on {stile di visualizzazione [-2,2]} is not closed, because the function is not continuous.

In matematica, the closed graph theorem may refer to one of several basic results characterizing continuous functions in terms of their graphs. Each gives conditions when functions with closed graphs are necessarily continuous.

Contenuti 1 Graphs and maps with closed graphs 1.1 Examples of continuous maps that do not have a closed graph 2 Closed graph theorem in point-set topology 2.1 For set-valued functions 3 Nell'analisi funzionale 4 Guarda anche 5 Appunti 6 Riferimenti 7 Bibliography Graphs and maps with closed graphs Main article: Closed graph If {stile di visualizzazione f:Xth Y} is a map between topological spaces then the graph of {stile di visualizzazione f} is the set {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Gr} f:={(X,f(X)):xin X}} o in modo equivalente, {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Gr} f:={(X,y)in Xtimes Y_y=f(X)}} It is said that the graph of {stile di visualizzazione f} is closed if {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Gr} f} è un sottoinsieme chiuso di {stile di visualizzazione Xtimes Y} (with the product topology).

Any continuous function into a Hausdorff space has a closed graph.

Any linear map, {stile di visualizzazione L:Xth Y,} between two topological vector spaces whose topologies are (Cauchy) complete with respect to translation invariant metrics, and if in addition (1un) {stile di visualizzazione L} is sequentially continuous in the sense of the product topology, then the map {stile di visualizzazione L} is continuous and its graph, Gr L, is necessarily closed. al contrario, Se {stile di visualizzazione L} is such a linear map with, in place of (1un), the graph of {stile di visualizzazione L} è (1b) known to be closed in the Cartesian product space {stile di visualizzazione Xtimes Y} , poi {stile di visualizzazione L} is continuous and therefore necessarily sequentially continuous.[1] Examples of continuous maps that do not have a closed graph If {stile di visualizzazione X} is any space then the identity map {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Id} :Xto X} is continuous but its graph, which is the diagonal {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Gr} nome operatore {Id} :={(X,X):xin X},} , è chiuso dentro {displaystyle Xtimes X} se e solo se {stile di visualizzazione X} is Hausdorff.[2] In particolare, Se {stile di visualizzazione X} is not Hausdorff then {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {Id} :Xto X} is continuous but does not have a closed graph.

Permettere {stile di visualizzazione X} denote the real numbers {displaystyle mathbb {R} } with the usual Euclidean topology and let {stile di visualizzazione Y} denote {displaystyle mathbb {R} } with the indiscrete topology (where note that {stile di visualizzazione Y} is not Hausdorff and that every function valued in {stile di visualizzazione Y} è continuo). Permettere {stile di visualizzazione f:Xth Y} be defined by {stile di visualizzazione f(0)=1} e {stile di visualizzazione f(X)=0} per tutti {displaystyle xneq 0} . Quindi {stile di visualizzazione f:Xth Y} is continuous but its graph is not closed in {stile di visualizzazione Xtimes Y} .[3] Closed graph theorem in point-set topology In point-set topology, the closed graph theorem states the following: Teorema del grafo chiuso[4] — If {stile di visualizzazione f:Xth Y} is a map from a topological space {stile di visualizzazione X} into a Hausdorff space {stile di visualizzazione Y,} then the graph of {stile di visualizzazione f} is closed if {stile di visualizzazione f:Xth Y} è continuo. The converse is true when {stile di visualizzazione Y} è compatto. (Note that compactness and Hausdorffness do not imply each other.) Proof First part is essentially by definition.

Second part: For any open {displaystyle Vsottoinsieme Y} , we check {stile di visualizzazione f^{-1}(V)} is open. So take any {displaystyle xin f^{-1}(V)} , we construct some open neighborhood {stile di visualizzazione U} di {stile di visualizzazione x} , tale che {stile di visualizzazione f(u)subset V} .

Since the graph of {stile di visualizzazione f} is closed, for every point {stile di visualizzazione (X,y')} on the "vertical line at x", insieme a {displaystyle y'neq f(X)} , draw an open rectangle {stile di visualizzazione U_{y'}times V_{y'}} disjoint from the graph of {stile di visualizzazione f} . These open rectangles, when projected to the y-axis, cover the y-axis except at {stile di visualizzazione f(X)} , so add one more set {stile di visualizzazione V} .

Naively attempting to take {stile di visualizzazione U:= maiuscoletto _{y'neq f(X)}U_{y'}} would construct a set containing {stile di visualizzazione x} , but it is not guaranteed to be open, so we use compactness here.

Da {stile di visualizzazione Y} è compatto, we can take a finite open covering of {stile di visualizzazione Y} come {stile di visualizzazione {V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}}} .

Now take {stile di visualizzazione U:= maiuscoletto _{io=1}^{n}U_{y'_{io}}} . It is an open neighborhood of {stile di visualizzazione x} , since it is merely a finite intersection. We claim this is the open neighborhood of {stile di visualizzazione U} that we want.

Suppose not, then there is some unruly {displaystyle x'in U} tale che {stile di visualizzazione f(X')not in V} , then that would imply {stile di visualizzazione f(X')in V_{y'_{io}}} per alcuni {stile di visualizzazione i} by open covering, but then {stile di visualizzazione (X',f(X'))in Utimes V_{y'_{io}}subset U_{y'_{io}}times V_{y'_{io}}} , a contradiction since it is supposed to be disjoint from the graph of {stile di visualizzazione f} .

Non-Hausdorff spaces are rarely seen, but non-compact spaces are common. An example of non-compact {stile di visualizzazione Y} is the real line, which allows the discontinuous function with closed graph {stile di visualizzazione f(X)={inizio{casi}{frac {1}{X}}{testo{ Se }}xneq 0,\0{testo{ altro}}fine{casi}}} .

For set-valued functions Closed graph theorem for set-valued functions[5] — For a Hausdorff compact range space {stile di visualizzazione Y} , a set-valued function {stile di visualizzazione F:Xto 2^{Y}} has a closed graph if and only if it is upper hemicontinuous and F(X) is a closed set for all {stile di visualizzazione xin X} .

In functional analysis Main article: Teorema del grafo chiuso (analisi funzionale) Se {stile di visualizzazione T:Xth Y} is a linear operator between topological vector spaces (TV) then we say that {stile di visualizzazione T} is a closed operator if the graph of {stile di visualizzazione T} è chiuso dentro {stile di visualizzazione Xtimes Y} quando {stile di visualizzazione Xtimes Y} is endowed with the product topology.

The closed graph theorem is an important result in functional analysis that guarantees that a closed linear operator is continuous under certain conditions. The original result has been generalized many times. A well known version of the closed graph theorems is the following.

Teorema[6][7] — A linear map between two F-spaces (per esempio. Banach spaces) is continuous if and only if its graph is closed.

See also Almost open linear map Barrelled space – Topological vector space Closed graph Closed linear operator Discontinuous linear map Kakutani fixed-point theorem – On when a function f: S→Pow(S) on a compact nonempty convex subset S⊂ℝⁿ has a fixed point Open mapping theorem (analisi funzionale) – Condition for a linear operator to be open Ursescu theorem – Generalization of closed graph, open mapping, and uniform boundedness theorem Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold Zariski's main theorem – Theorem of algebraic geometry and commutative algebra Notes References ^ Rudin 1991, p. 51-52. ^ Rudin 1991, p. 50. ^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 459–483. ^ Munkres 2000, pp. 163–172. ^ Aliprantis, Charlambos; Kim C. Border (1999). "Capitolo 17". Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (33a ed.). Springer. ^ Schaefer & Wolff 1999, p. 78. ^ Trèves (2006), p. 173 Bibliography Bourbaki, Nicola (1987) [1981]. Spazi vettoriali topologici: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlino New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190. Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80958-6 Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342. Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Spazi vettoriali topologici I. Fondamenti di scienze matematiche. vol. 159. Tradotto da Garling, DJH. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SIG 0248498. OCLC 840293704. Munkres, James R. (2000). Topologia (Seconda ed.). Upper Saddle River, NJ: Sala dell'Apprendista, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260. Narici, Lawrence; Beckenstein, Edoardo (2011). Spazi vettoriali topologici. Matematica pura e applicata (Seconda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Rudino, Walter (1991). Analisi funzionale. Serie internazionale di matematica pura e applicata. vol. 8 (Seconda ed.). New York, New York: McGraw-Hill Scienze/Ingegneria/Matematica. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. Schäfer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Spazi vettoriali topologici. GTM. vol. 8 (Seconda ed.). New York, New York: Springer New York Colophon Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. Treviri, Francesco (2006) [1967]. Spazi vettoriali topologici, Distribuzioni e kernel. Mineola, N.Y.: Pubblicazioni di Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322. Wilansky, Alberto (2013). Metodi moderni in spazi vettoriali topologici. Mineola, New York: Pubblicazioni di Dover, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. Zălinescu, Costantino (30 Luglio 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. Londra: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. SIG 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive. "Proof of closed graph theorem". PlanetMath. show vte Functional analysis (argomenti – glossario) mostra vte Spazi vettoriali topologici (TV) Categorie: Teoremi nell'analisi funzionale

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