teorema de Cayley

Teorema de Cayley Para o número de árvores rotuladas na teoria dos grafos, veja a fórmula de Cayley.

Na teoria do grupo, teorema de Cayley, nomeado em homenagem a Arthur Cayley, afirma que todo grupo G é isomórfico a um subgrupo de um grupo simétrico.[1] Mais especificamente, G é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico {nome do operador de estilo de exibição {Sym} (G)} cujos elementos são as permutações do conjunto subjacente de G. Explicitamente, para cada {displaystyle gin G} , o mapa de multiplicação por g à esquerda {estilo de exibição ell _{g}dois pontos G para G} enviar cada elemento x para gx é uma permutação de G, e o mapa {displaystyle Gto operatorname {Sym} (G)} enviando cada elemento g para {estilo de exibição ell _{g}} é um homomorfismo injetivo, então ele define um isomorfismo de G em um subgrupo de {nome do operador de estilo de exibição {Sym} (G)} .

o homomorfismo {displaystyle Gto operatorname {Sym} (G)} também pode ser entendido como decorrente da ação de translação à esquerda de G no conjunto subjacente G.[2] Quando G é finito, {nome do operador de estilo de exibição {Sym} (G)} é finito também. A prova do teorema de Cayley neste caso mostra que se G é um grupo finito de ordem n, então G é isomórfico a um subgrupo do grupo simétrico padrão {estilo de exibição S_{n}} . Mas G também pode ser isomórfico a um subgrupo de um grupo simétrico menor, {estilo de exibição S_{m}} para alguns {estilo de exibição m 0 e 0 -> 1, como fariam sob uma permutação.

Z3 = {0,1,2} com módulo de adição 3; elemento de grupo 0 corresponde à permutação de identidade e, elemento de grupo 1 para permutação (123), e elemento de grupo 2 para permutação (132). Por exemplo. 1 + 1 = 2 corresponde a (123)(123)=(132).

Z4 = {0,1,2,3} com módulo de adição 4; os elementos correspondem a e, (1234), (13)(24), (1432).

Os elementos de quatro grupos de Klein {e, uma, b, c} corresponde a e, (12)(34), (13)(24), e (14)(23).

S3 (grupo diedral de ordem 6) é o grupo de todas as permutações de 3 objetos, mas também um grupo de permutação do 6 elementos do grupo, e o último é como ele é realizado por sua representação regular.

* e a b c d f permutação e e a b c d f e a a e d f b c (12)(35)(46) b b f e d c a (13)(26)(45) c c d f e a b (14)(25)(36) d d c a b f e (156)(243) f f b c a e d (165)(234) Teorema de afirmação mais geral: Seja G um grupo, e seja H um subgrupo. Deixar {estilo de exibição G/H} ser o conjunto de coconjuntos à esquerda de H em G. Seja N o núcleo normal de H em G, definido como sendo a interseção dos conjugados de H em G. Então o grupo quociente {estilo de exibição G/N} é isomorfo a um subgrupo de {nome do operador de estilo de exibição {Sym} (G/H)} .

O caso especial {estilo de exibição H=1} é o teorema original de Cayley.

Veja também o teorema de Wagner-Preston é o análogo para semigrupos inversos. Teorema da representação de Birkhoff, um resultado semelhante na teoria da ordem teorema de Frucht, todo grupo finito é o grupo de automorfismo de um grafo Yoneda lema, uma generalização do teorema de Cayley na teoria das categorias Teorema da representação Notas ^ Jacobson (2009, p. 38) ^ Jacobson (2009, p. 72, ex. 1) ^ Peter J. cameron (2008). Introdução à álgebra, Segunda edição. imprensa da Universidade de Oxford. p. 134. ISBN 978-0-19-852793-0. ^ Johnson, D. eu. (1971). "Representações de Permutação Mínima de Grupos Finitos". Revista Americana de Matemática. 93 (4): 857–866. doi:10.2307/2373739. JSTOR 2373739. ^ Grechkoseeva, M. UMA. (2003). "Sobre Representações de Permutação Mínima de Grupos Simples Clássicos". Revista Matemática da Sibéria. 44 (3): 443-462. doi:10.1023/UMA:1023860730624. S2CID 126892470. ^ J. eu. alperin; Rowan B. Sino (1995). Grupos e representações. Springer. p. 29. ISBN 978-0-387-94525-5. ^ Burnside, William (1911), Teoria dos Grupos de Ordem Finita (2 ed.), Cambridge, p. 22, ISBN 0-486-49575-2 ^ Jordânia, Camila (1870), Lida com substituições e equações algébricas, Paris: Gauther-Villars ^ Fuzzy, Eric (1980), "Teorema de Cayley para Grupos Topológicos", Mensal de Matemática Americana, Associação Matemática da América, 87 (3): 202–203, doi:10.2307/2321608, JSTOR 2321608 ^ Cayley, Arthur (1854), "Sobre a teoria dos grupos como dependente da equação simbólica θn=1", Revista Filosófica, 7 (42): 40–47^ por Dyck, Walther (1882), "estudos teóricos em grupo" [Estudos Teóricos de Grupo], Anais Matemáticos, 20 (1): 30, doi:10.1007/BF01443322, HDL:2027/njp.32101075301422, ISSN 0025-5831, S2CID 179178038. (em alemão) ^ Burnside, William (1897), Teoria dos Grupos de Ordem Finita (1 ed.), Cambridge, p. 22 ^ Jacobson (2009, p. 31) Referências Jacobson, Natan (2009), álgebra básica (2ª edição), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1. Categorias: PermutaçõesTeoremas sobre grupos finitos