# Cauchy's integral theorem {estilo de exibição int _{C}f(z),dz=0.} Conteúdo 1 Declaração 1.1 Fundamental theorem for complex line integrals 1.1.1 Formulation on Simply Connected Regions 1.1.2 General Formulation 1.1.3 Main Example 2 Discussão 3 Prova 4 Veja também 5 Referências 6 External links Statement Fundamental theorem for complex line integrals If f(z) is a holomorphic function on an open region U, e {gama de estilo de exibição } is a curve in U from {estilo de exibição z_{0}} para {estilo de exibição z_{1}} então, {estilo de exibição int _{gama }f'(z),dz=f(z_{1})-f(z_{0}).} Também, when f(z) has a single-valued antiderivative in an open region U, then the path integral {estilo de texto int _{gama }f'(z),dz} is path independent for all paths in U.

Formulation on Simply Connected Regions Let {displaystyle Usubseteq mathbb {C} } be a simply connected open set, e deixar {estilo de exibição f:Uto mathbb {C} } ser uma função holomorfa. Deixar {gama de estilo de exibição :[uma,b]to U} be a smooth closed curve. Então: {estilo de exibição int _{gama }f(z),dz=0.} (The condition that {estilo de exibição U} be simply connected means that {estilo de exibição U} has no "holes", or in other words, that the fundamental group of {estilo de exibição U} is trivial.) General Formulation Let {displaystyle Usubseteq mathbb {C} } be an open set, e deixar {estilo de exibição f:Uto mathbb {C} } ser uma função holomorfa. Deixar {gama de estilo de exibição :[uma,b]to U} be a smooth closed curve. Se {gama de estilo de exibição } is homotopic to a constant curve, então: {estilo de exibição int _{gama }f(z),dz=0.} (Recall that a curve is homotopic to a constant curve if there exists a smooth homotopy from the curve to the constant curve. Intuitivamente, this means that one can shrink the curve into a point without exiting the space.) The first version is a special case of this because on a simply connected set, every closed curve is homotopic to a constant curve.

Main Example In both cases, it is important to remember that the curve {gama de estilo de exibição } does not surround any "holes" in the domain, or else the theorem does not apply. A famous example is the following curve: {gama de estilo de exibição (t)=e^{it}quad tin left[0,2pi right],} which traces out the unit circle. Here the following integral: {estilo de exibição int _{gama }{fratura {1}{z}},dz=2pi ineq 0,} is nonzero. The Cauchy integral theorem does not apply here since {estilo de exibição f(z)=1/z} is not defined at {displaystyle z=0} . Intuitivamente, {gama de estilo de exibição } surrounds a "hole" in the domain of {estilo de exibição f} , assim {gama de estilo de exibição } cannot be shrunk to a point without exiting the space. Desta forma, the theorem does not apply.

Discussion As Édouard Goursat showed, Cauchy's integral theorem can be proven assuming only that the complex derivative {estilo de exibição f'(z)} exists everywhere in {estilo de exibição U} . This is significant because one can then prove Cauchy's integral formula for these functions, and from that deduce these functions are infinitely differentiable.

The condition that {estilo de exibição U} be simply connected means that {estilo de exibição U} has no "holes" ou, in homotopy terms, that the fundamental group of {estilo de exibição U} é trivial; por exemplo, every open disk {estilo de exibição U_{z_{0}}={z:deixei|z-z_{0}certo|

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