Casey's theorem

Casey's theorem In mathematics, Casey's theorem, also known as the generalized Ptolemy's theorem, is a theorem in Euclidean geometry named after the Irish mathematician John Casey.

Contenuti 1 Formulation of the theorem 2 Prova 3 Ulteriori generalizzazioni 4 Applicazioni 5 Riferimenti 6 External links Formulation of the theorem {stile di visualizzazione t_{12}cdot t_{34}+t_{14}cdot t_{23}-t_{13}cdot t_{24}=0} Permettere {stile di visualizzazione ,o} be a circle of radius {stile di visualizzazione ,R} . Permettere {stile di visualizzazione ,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} be (in that order) four non-intersecting circles that lie inside {stile di visualizzazione ,o} and tangent to it. Denote by {stile di visualizzazione ,t_{ij}} the length of the exterior common bitangent of the circles {stile di visualizzazione ,O_{io},O_{j}} . Quindi:[1] {stile di visualizzazione ,t_{12}cdot t_{34}+t_{14}cdot t_{23}=t_{13}cdot t_{24}.} Note that in the degenerate case, where all four circles reduce to points, this is exactly Ptolemy's theorem.

Proof The following proof is attributable[2] to Zacharias.[3] Denote the radius of circle {stile di visualizzazione ,O_{io}} di {stile di visualizzazione ,R_{io}} and its tangency point with the circle {stile di visualizzazione ,o} di {stile di visualizzazione ,K_{io}} . We will use the notation {stile di visualizzazione ,o,O_{io}} for the centers of the circles. Note that from Pythagorean theorem, {stile di visualizzazione ,t_{ij}^{2}={sopra {O_{io}O_{j}}}^{2}-(R_{io}-R_{j})^{2}.} We will try to express this length in terms of the points {stile di visualizzazione ,K_{io},K_{j}} . By the law of cosines in triangle {stile di visualizzazione ,O_{io}OO_{j}} , {stile di visualizzazione {sopra {O_{io}O_{j}}}^{2}={sopra {OO_{io}}}^{2}+{sopra {OO_{j}}}^{2}-2{sopra {OO_{io}}}cdot {sopra {OO_{j}}}cdot cos angle O_{io}OO_{j}} Since the circles {stile di visualizzazione ,o,O_{io}} tangent to each other: {stile di visualizzazione {sopra {OO_{io}}}=R-R_{io},,angle O_{io}OO_{j}=angle K_{io}OK_{j}} Permettere {stile di visualizzazione ,C} be a point on the circle {stile di visualizzazione ,o} . According to the law of sines in triangle {stile di visualizzazione ,K_{io}CK_{j}} : {stile di visualizzazione {sopra {K_{io}K_{j}}}=2Rcdot sin angle K_{io}CK_{j}=2Rcdot sin {frac {angle K_{io}OK_{j}}{2}}} Perciò, {displaystyle cos angle K_{io}OK_{j}=1-2sin ^{2}{frac {angle K_{io}OK_{j}}{2}}=1-2cdot left({frac {sopra {K_{io}K_{j}}}{2R}}Giusto)^{2}=1-{frac {{sopra {K_{io}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}} and substituting these in the formula above: {stile di visualizzazione {sopra {O_{io}O_{j}}}^{2}=(R-R_{io})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{io})(R-R_{j})sinistra(1-{frac {{sopra {K_{io}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}Giusto)} {stile di visualizzazione {sopra {O_{io}O_{j}}}^{2}=(R-R_{io})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{io})(R-R_{j})+(R-R_{io})(R-R_{j})cdot {frac {{sopra {K_{io}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} {stile di visualizzazione {sopra {O_{io}O_{j}}}^{2}=((R-R_{io})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{io})(R-R_{j})cdot {frac {{sopra {K_{io}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} And finally, the length we seek is {stile di visualizzazione t_{ij}={mq {{sopra {O_{io}O_{j}}}^{2}-(R_{io}-R_{j})^{2}}}={frac {{mq {R-R_{io}}}cdot {mq {R-R_{j}}}cdot {sopra {K_{io}K_{j}}}}{R}}} We can now evaluate the left hand side, with the help of the original Ptolemy's theorem applied to the inscribed quadrilateral {stile di visualizzazione ,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} : {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\[4pt]={}&{frac {1}{R^{2}}}cdot {mq {R-R_{1}}}{mq {R-R_{2}}}{mq {R-R_{3}}}{mq {R-R_{4}}}sinistra({sopra {K_{1}K_{2}}}cdot {sopra {K_{3}K_{4}}}+{sopra {K_{1}K_{4}}}cdot {sopra {K_{2}K_{3}}}Giusto)\[4pt]={}&{frac {1}{R^{2}}}cdot {mq {R-R_{1}}}{mq {R-R_{2}}}{mq {R-R_{3}}}{mq {R-R_{4}}}sinistra({sopra {K_{1}K_{3}}}cdot {sopra {K_{2}K_{4}}}Giusto)\[4pt]={}&t_{13}t_{24}fine{allineato}}} Further generalizations It can be seen that the four circles need not lie inside the big circle. Infatti, they may be tangent to it from the outside as well. In quel caso, the following change should be made:[4] Se {stile di visualizzazione ,O_{io},O_{j}} are both tangent from the same side of {stile di visualizzazione ,o} (both in or both out), {stile di visualizzazione ,t_{ij}} is the length of the exterior common tangent.

Se {stile di visualizzazione ,O_{io},O_{j}} are tangent from different sides of {stile di visualizzazione ,o} (one in and one out), {stile di visualizzazione ,t_{ij}} is the length of the interior common tangent.

The converse of Casey's theorem is also true.[4] Questo è, if equality holds, the circles are tangent to a common circle.

Applications Casey's theorem and its converse can be used to prove a variety of statements in Euclidean geometry. Per esempio, the shortest known proof[1]: 411  of Feuerbach's theorem uses the converse theorem.

Riferimenti ^ Salta su: a b Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Atti della Royal Irish Academy. 9: 396–423. JSTOR 20488927. ^ Bottema, o. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). ^ Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Relazione annuale dell'Associazione Tedesca dei Matematici. 52: 79–89. ^ Salta su: a b Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry). External links Wikimedia Commons has media related to Casey's theorem. Weisstein, Eric W. "Casey's theorem". Math World. Shailesh Shirali: "'On a generalized Ptolemy Theorem'". In: Crux Mathematicorum, vol. 22, No. 2, pp. 49-53 Categorie: Theorems about circlesEuclidean geometry