Teorema dell'intersezione di Cantor

Cantor's intersection theorem Cantor's intersection theorem refers to two closely related theorems in general topology and real analysis, named after Georg Cantor, about intersections of decreasing nested sequences of non-empty compact sets.

Contenuti 1 Topological statement 2 Statement for real numbers 3 Variant in complete metric spaces 4 References Topological statement Theorem. Permettere {stile di visualizzazione S} be a topological space. A decreasing nested sequence of non-empty compact, closed subsets of {stile di visualizzazione S} has a non-empty intersection. In altre parole, supposing {stile di visualizzazione (C_{K})_{kgq 0}} is a sequence of non-empty compact, closed subsets of S satisfying {stile di visualizzazione C_{0}supset C_{1}supset cdots supset C_{n}supset C_{n+1}sopprimere i cdot ,} ne consegue che {displaystyle bigcap _{k=0}^{infty }C_{K}neq emptyset .} The closedness condition may be omitted in situations where every compact subset of {stile di visualizzazione S} is closed, for example when {stile di visualizzazione S} is Hausdorff.

Prova. Assumere, by way of contradiction, Quello {stile di visualizzazione {textstyle bigcap _{k=0}^{infty }C_{K}}=vuoto } . For each {stile di visualizzazione k} , permettere {stile di visualizzazione U_{K}=C_{0}setminus C_{K}} . Da {stile di visualizzazione {textstyle bigcup _{k=0}^{infty }U_{K}}=C_{0}set meno {textstyle bigcap _{k=0}^{infty }C_{K}}} e {stile di visualizzazione {textstyle bigcap _{k=0}^{infty }C_{K}}=vuoto } , noi abbiamo {stile di visualizzazione {textstyle bigcup _{k=0}^{infty }U_{K}}=C_{0}} . Since the {stile di visualizzazione C_{K}} are closed relative to {stile di visualizzazione S} e quindi, also closed relative to {stile di visualizzazione C_{0}} , il {stile di visualizzazione U_{K}} , their set complements in {stile di visualizzazione C_{0}} , are open relative to {stile di visualizzazione C_{0}} .

Da {stile di visualizzazione C_{0}subset S} is compact and {stile di visualizzazione {U_{K}vert kgeq 0}} is an open cover (Su {stile di visualizzazione C_{0}} ) di {stile di visualizzazione C_{0}} , a finite cover {stile di visualizzazione {U_{K_{1}},U_{K_{2}},ldot ,U_{K_{m}}}} can be extracted. Permettere {displaystyle M=max _{1leq ileq m}{K_{io}}} . Quindi {stile di visualizzazione {textstyle bigcup _{io=1}^{m}U_{K_{io}}}=U_{M}} perché {stile di visualizzazione U_{1}subset U_{2}subset cdots subset U_{n}subset U_{n+1}cdot } , by the nesting hypothesis for the collection {stile di visualizzazione (C_{K})_{kgq 0}} . Di conseguenza, {stile di visualizzazione C_{0}={textstyle bigcup _{io=1}^{m}U_{K_{io}}}=U_{M}} . But then {stile di visualizzazione C_{M}=C_{0}setminus U_{M}=vuoto } , una contraddizione. ∎ Statement for real numbers The theorem in real analysis draws the same conclusion for closed and bounded subsets of the set of real numbers {displaystyle mathbb {R} } . It states that a decreasing nested sequence {stile di visualizzazione (C_{K})_{kgq 0}} of non-empty, closed and bounded subsets of {displaystyle mathbb {R} } has a non-empty intersection.

This version follows from the general topological statement in light of the Heine–Borel theorem, which states that sets of real numbers are compact if and only if they are closed and bounded. Tuttavia, it is typically used as a lemma in proving said theorem, and therefore warrants a separate proof.

Come esempio, Se {stile di visualizzazione C_{K}=[0,1/K]} , the intersection over {stile di visualizzazione (C_{K})_{kgq 0}} è {stile di visualizzazione {0}} . D'altro canto, both the sequence of open bounded sets {stile di visualizzazione C_{K}=(0,1/K)} and the sequence of unbounded closed sets {stile di visualizzazione C_{K}=[K,infty )} have empty intersection. All these sequences are properly nested.

This version of the theorem generalizes to {displaystyle mathbf {R} ^{n}} , l'insieme di {stile di visualizzazione n} -element vectors of real numbers, but does not generalize to arbitrary metric spaces. Per esempio, in the space of rational numbers, the sets {stile di visualizzazione C_{K}=[{mq {2}},{mq {2}}+1/K]=({mq {2}},{mq {2}}+1/K)} are closed and bounded, but their intersection is empty.

Note that this contradicts neither the topological statement, as the sets {stile di visualizzazione C_{K}} are not compact, nor the variant below, as the rational numbers are not complete with respect to the usual metric.

A simple corollary of the theorem is that the Cantor set is nonempty, since it is defined as the intersection of a decreasing nested sequence of sets, each of which is defined as the union of a finite number of closed intervals; hence each of these sets is non-empty, Chiuso, and bounded. Infatti, the Cantor set contains uncountably many points.

Teorema. Permettere {stile di visualizzazione (C_{K})_{kgq 0}} be a sequence of non-empty, Chiuso, and bounded subsets of {displaystyle mathbb {R} } soddisfacente {stile di visualizzazione C_{0}supset C_{1}supset cdots C_{n}supset C_{n+1}cdot .} Quindi, {displaystyle bigcap _{k=0}^{infty }C_{K}neq emptyset .} Prova. Each nonempty, Chiuso, and bounded subset {stile di visualizzazione C_{K}sottoinsieme mathbb {R} } admits a minimal element {stile di visualizzazione x_{K}} . Since for each {stile di visualizzazione k} , noi abbiamo {stile di visualizzazione x_{k+1}in C_{k+1}subset C_{K}} , ne consegue che {stile di visualizzazione x_{K}leq x_{k+1}} , Così {stile di visualizzazione (X_{K})_{kgq 0}} is an increasing sequence contained in the bounded set {stile di visualizzazione C_{0}} . The monotone convergence theorem for bounded sequences of real numbers now guarantees the existence of a limit point {displaystyle x=lim _{kto infty }X_{K}.} For fixed {stile di visualizzazione k} , {stile di visualizzazione x_{j}in C_{K}} per tutti {displaystyle jgeq k} , e da allora {stile di visualizzazione C_{K}} is closed and {stile di visualizzazione x} is a limit point, ne consegue che {displaystyle xin C_{K}} . Our choice of {stile di visualizzazione k} is arbitrary, quindi {stile di visualizzazione x} belongs to {stile di visualizzazione {textstyle bigcap _{k=0}^{infty }C_{K}}} and the proof is complete. ∎ Variant in complete metric spaces In a complete metric space, the following variant of Cantor's intersection theorem holds.

Teorema. Supporre che {stile di visualizzazione X} is a complete metric space, e {stile di visualizzazione (C_{K})_{kgq 1}} is a sequence of non-empty closed nested subsets of {stile di visualizzazione X} whose diameters tend to zero: {displaystyle lim _{kto infty }nome operatore {diam} (C_{K})=0,} dove {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {diam} (C_{K})} è definito da {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {diam} (C_{K})= sup{d(X,y)mid x,yin C_{K}}.} Then the intersection of the {stile di visualizzazione C_{K}} contains exactly one point: {displaystyle bigcap _{k=1}^{infty }C_{K}={X}} per alcuni {stile di visualizzazione xin X} .

Prova (sketch). Since the diameters tend to zero, the diameter of the intersection of the {stile di visualizzazione C_{K}} è zero, so it is either empty or consists of a single point. So it is sufficient to show that it is not empty. Pick an element {stile di visualizzazione x_{K}in C_{K}} per ciascuno {stile di visualizzazione k} . Since the diameter of {stile di visualizzazione C_{K}} tends to zero and the {stile di visualizzazione C_{K}} are nested, il {stile di visualizzazione x_{K}} form a Cauchy sequence. Since the metric space is complete this Cauchy sequence converges to some point {stile di visualizzazione x} . Since each {stile di visualizzazione C_{K}} is closed, e {stile di visualizzazione x} is a limit of a sequence in {stile di visualizzazione C_{K}} , {stile di visualizzazione x} must lie in {stile di visualizzazione C_{K}} . This is true for every {stile di visualizzazione k} , and therefore the intersection of the {stile di visualizzazione C_{K}} must contain {stile di visualizzazione x} . ∎ A converse to this theorem is also true: Se {stile di visualizzazione X} is a metric space with the property that the intersection of any nested family of non-empty closed subsets whose diameters tend to zero is non-empty, poi {stile di visualizzazione X} is a complete metric space. (Per dimostrarlo, permettere {stile di visualizzazione (X_{K})_{kgq 1}} be a Cauchy sequence in {stile di visualizzazione X} , e lascia {stile di visualizzazione C_{K}} be the closure of the tail {stile di visualizzazione (X_{j})_{jgeq k}} of this sequence.) References Weisstein, Eric W. "Cantor's Intersection Theorem". Math World. Jonathan Lewin. An interactive introduction to mathematical analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01718-1. Sezione 7.8. Categorie: Real analysisCompactness theoremsTheorems in calculus