Desigualdade de Bregman-Minc

Desigualdade de Bregman-Minc Em matemática discreta, a desigualdade de Bregman-Minc, ou teorema de Bregman, permite estimar a permanente de uma matriz binária através de suas somas de linha ou coluna. A desigualdade foi conjecturada em 1963 por Henryk Minc e provado pela primeira vez em 1973 por Lev M. Bregman.[1][2] Outras provas baseadas em entropia foram dadas por Alexander Schrijver e Jaikumar Radhakrishnan.[3][4] A desigualdade de Bregman-Minc é usada, por exemplo, em teoria dos grafos para obter limites superiores para o número de emparelhamentos perfeitos em um grafo bipartido.

Conteúdo 1 Declaração 2 Inscrição 3 Declarações relacionadas 4 Veja também 5 Referências 6 External links Statement The permanent of a square binary matrix {estilo de exibição A=(uma_{eu j})} de tamanho {estilo de exibição m} com somas de linha {estilo de exibição r_{eu}=a_{i1}+cdots +a_{dentro}} por {estilo de exibição i=1,ldots ,n} pode ser estimado por {nome do operador de estilo de exibição {por} Aleq prod _{i=1}^{n}(r_{eu}!)^{1/r_{eu}}.} O permanente é, portanto, limitado pelo produto das médias geométricas dos números de {estilo de exibição 1} para {estilo de exibição r_{eu}} por {estilo de exibição i=1,ldots ,n} . A igualdade é válida se a matriz for uma matriz diagonal de bloco consistindo em matrizes de unidades ou resultados de permutações de linha e/ou coluna de tal matriz diagonal de bloco. Como o permanente é invariante sob transposição, a desigualdade também vale para as somas das colunas da matriz.[5][6] Aplicação Uma matriz binária e o gráfico bipartido correspondente com um possível emparelhamento perfeito marcado em vermelho. De acordo com a desigualdade de Bregman-Minc, há no máximo 18 correspondências perfeitas neste gráfico.

Existe uma correspondência biunívoca entre uma matriz binária quadrada {estilo de exibição A} de tamanho {estilo de exibição m} e um gráfico bipartido simples {estilo de exibição G=(V,{ponto {copo }},C,E)} com partições de tamanho igual {estilo de exibição V={v_{1},ldots ,v_{n}}} e {estilo de exibição W ={W_{1},ldots ,W_{n}}} tomando {estilo de exibição a_{eu j}=1seta para a esquerda {v_{eu},W_{j}}em E.} Deste jeito, cada entrada diferente de zero da matriz {estilo de exibição A} define uma aresta no gráfico {estilo de exibição G} e vice versa. Uma correspondência perfeita em {estilo de exibição G} é uma seleção de {estilo de exibição m} arestas, tal que cada vértice do grafo é um ponto final de uma dessas arestas. Cada soma diferente de zero da permanente de {estilo de exibição A} satisfatório {estilo de exibição a_{1sigma (1)}cdots a_{Eu sinto Muito (n)}=1} corresponde a uma correspondência perfeita {estilo de exibição {{v_{1},W_{sigma (1)}},ldots ,{v_{n},W_{sigma (n)}}}} do {estilo de exibição G} . Portanto, E se {estilo de exibição {matemática {M}}(G)} denota o conjunto de correspondências perfeitas de {estilo de exibição G} , {estilo de exibição |{matemática {M}}(G)|=nome do operador {por} UMA} detém. A desigualdade de Bregman-Minc agora produz a estimativa {estilo de exibição |{matemática {M}}(G)|leq prod _{i=1}^{n}(d(v_{eu})!)^{1/d(v_{eu})},} Onde {estilo de exibição d(v_{eu})} é o grau do vértice {estilo de exibição v_{eu}} . Por simetria, a estimativa correspondente também vale para {estilo de exibição d(W_{eu})} ao invés de {estilo de exibição d(v_{eu})} . O número de possíveis correspondências perfeitas em um grafo bipartido com partições de tamanhos iguais pode, portanto, ser estimado através dos graus dos vértices de qualquer uma das duas partições.[7] Related statements Using the inequality of arithmetic and geometric means, a desigualdade de Bregman-Minc implica diretamente na estimativa mais fraca {nome do operador de estilo de exibição {por} Aleq prod _{i=1}^{n}{fratura {r_{eu}+1}{2}},} que foi comprovado por Henryk Minc já em 1963. Outra consequência direta da desigualdade de Bregman-Minc é uma prova da seguinte conjectura de Herbert Ryser de 1960. Deixar {estilo de exibição k} por um divisor de {estilo de exibição m} e deixar {estilo de exibição Lambda _{kn}} denotar o conjunto de matrizes binárias quadradas de tamanho {estilo de exibição m} com somas de linhas e colunas iguais a {estilo de exibição k} , então {estilo de exibição max _{Ain Lambda _{kn}}nome do operador {por} A=(k!)^{s/k}.} O máximo é assim alcançado para uma matriz diagonal de blocos cujos blocos diagonais são matrizes quadradas de tamanho {estilo de exibição k} . Uma declaração correspondente para o caso que {estilo de exibição k} não é divisor de {estilo de exibição m} é um problema matemático aberto.[5][6] Veja também Computando as Referências Permanentes ^ Henryk Minc (1963), "Limites superiores para permanentes de (0,1)-matrizes", Touro. América. Matemática. Soc., 69: 789-791, doi:10.1090/s0002-9904-1963-11031-9 ^ Lev Bregman (1973), "Algumas propriedades de matrizes não negativas e suas permanentes", matemática soviética. Até, 14: 945–949 ^ Alexandre Escritor (1978), "Uma breve prova da conjectura de Minc", J. combinar. Serviço de Teoria. UMA, 25: 80-83, doi:10.1016/0097-3165(78)90036-5 ^ Jaikumar Radhakrishnan (1997), "Uma prova de entropia do teorema de Bregman", J. combinar. Serviço de Teoria. UMA, 77: 161-164, doi:10.1006/jcta.1996.2727 ^ Ir para: a b Henryk Minc (1984), Permanente, Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações, volume. 6, Cambridge University Press, pp. 107–109 ^ Jump up to: a b Vladimir Sachkov (1996), Métodos Combinatórios em Matemática Discreta, Cambridge University Press, pp. 95–97 ^ Martin Aigner, Gunter M. Ziegler (2015), O Livro das Provas (4. ed.), Springer, pp. 285–292 External links Robin Whitty. "Teorema de Bregman" (PDF; 274 KB). Teorema do dia. Recuperado 19 Outubro 2015. Categorias: Teoremas em matemática discreta