Teorema de Brauer sobre caracteres induzidos

Teorema de Brauer sobre caracteres induzidos Este artigo inclui uma lista de referências gerais, mas faltam citações em linha correspondentes suficientes. Ajude a melhorar este artigo introduzindo citações mais precisas. (Julho 2020) (Saiba como e quando remover esta mensagem de modelo) Teorema de Brauer sobre caracteres induzidos, muitas vezes conhecido como teorema de indução de Brauer, e nomeado após Richard Brauer, é um resultado básico no ramo da matemática conhecido como teoria do caráter, dentro da teoria da representação de um grupo finito.

Conteúdo 1 Fundo 2 Declaração 3 Provas 4 Formulários 5 Referências 6 Leitura adicional 7 Notes Background A precursor to Brauer's induction theorem was Artin's induction theorem, Que afirma que |G| vezes o caractere trivial de G é uma combinação inteira de caracteres que são cada um induzido de caracteres triviais de subgrupos cíclicos de G. O teorema de Brauer remove o fator |G|, mas à custa de expandir a coleção de subgrupos usados. Alguns anos depois que a prova do teorema de Brauer apareceu, J.A.. Verde mostrou (dentro 1955) que nenhum teorema de indução (com combinações inteiras de caracteres induzidas de caracteres lineares) pode ser provado com uma coleção de subgrupos menores que os subgrupos elementares de Brauer.

Outro resultado entre o teorema de indução de Artin e o teorema de indução de Brauer, também devido a Brauer e também conhecido como teorema de Brauer ou lema de Brauer é o fato de que a representação regular de G pode ser escrita como {estilo de exibição 1+soma lambda _{eu}rho _{eu}} onde o {lambda de estilo de exibição _{eu}} são racionais positivos e os {estilo de exibição rho _{eu}} são induzidas a partir de caracteres de subgrupos cíclicos de G. Observe que no teorema de Artin os caracteres são induzidos do caráter trivial do grupo cíclico, enquanto aqui eles são induzidos de caracteres arbitrários (em aplicações para as funções L de Artin é importante que os grupos sejam cíclicos e portanto todos os caracteres sejam lineares dando que as funções L correspondentes são analíticas).[1] Statement Let G be a finite group and let Char(G) denotar o subanel do anel de funções de classe de valor complexo de G consistindo em combinações inteiras de caracteres irredutíveis. Caracteres(G) é conhecido como o anel de caracteres de G, e seus elementos são conhecidos como personagens virtuais (alternativamente, como caracteres generalizados, ou às vezes caracteres de diferença). É um anel em virtude do fato de que o produto de caracteres de G é novamente um caractere de G. Sua multiplicação é dada pelo produto elemento a elemento de funções de classe.

O teorema de indução de Brauer mostra que o anel de caracteres pode ser gerado (como um grupo abeliano) por caracteres induzidos da forma {lambda de estilo de exibição _{H}^{G}} , onde H varia em subgrupos de G e λ varia em caracteres lineares (tendo grau 1) de H.

Na verdade, Brauer mostrou que os subgrupos H podem ser escolhidos de uma coleção muito restrita, agora chamados subgrupos elementares de Brauer. Estes são produtos diretos de grupos cíclicos e grupos cuja ordem é uma potência de um primo.

Proofs The proof of Brauer's induction theorem exploits the ring structure of Char(G) (a maioria das provas também faz uso de um anel um pouco maior, Caracteres*(G), que consiste em {estilo de exibição mathbb {Z} [ómega ]} -combinações de caracteres irredutíveis, onde ω é um complexo primitivo |G|-ª raiz da unidade). O conjunto de combinações inteiras de caracteres induzidas de caracteres lineares de subgrupos elementares de Brauer é um ideal I(G) de Char(G), então a prova se reduz a mostrar que o caráter trivial está em I(G). Várias provas do teorema, começando com uma prova devido a Brauer e John Tate, mostre que o caráter trivial está no ideal I* definido analogamente(G) de Char*(G) concentrando a atenção em um p primo de cada vez, e construindo elementos de valor inteiro de I*(G) que diferem (elementarmente) do caráter trivial por (múltiplos inteiros de) uma potência suficientemente alta de p. Uma vez que isso é alcançado para cada divisor primo de |G|, algumas manipulações com congruências e inteiros algébricos, novamente explorando o fato de que eu *(G) é um ideal de Ch*(G), coloque o personagem trivial em I(G). Um resultado auxiliar aqui é que um {estilo de exibição mathbb {Z} [ómega ]} -função de classe valorizada está no ideal I*(G) se seus valores são todos divisíveis (dentro {estilo de exibição mathbb {Z} [ómega ]} ) por |G|.

O teorema de indução de Brauer foi provado em 1946, e agora existem muitas provas alternativas. Dentro 1986, Victor Snaith deu uma prova por uma abordagem radicalmente diferente, natureza topológica (uma aplicação do teorema do ponto fixo de Lefschetz). Tem havido trabalhos recentes relacionados com a questão de encontrar formas naturais e explícitas do teorema de Brauer, notavelmente por Robert Boltje.

Applications Using Frobenius reciprocity, O teorema de indução de Brauer leva facilmente à sua caracterização fundamental de personagens, que afirma que uma função de classe de valor complexo de G é um caractere virtual se e somente se sua restrição a cada subgrupo elementar de Brauer de G for um caractere virtual. Este resultado, juntamente com o fato de que um caractere virtual θ é um caractere irredutível se e somente se θ(1) > 0 e {estilo de exibição lang teta ,teta faixa = 1} (Onde {idioma do estilo de exibição ,chocalho } é o produto interno usual no anel de funções de classe de valor complexo) fornece um meio de construir caracteres irredutíveis sem construir explicitamente as representações associadas.

Uma motivação inicial para o teorema de indução de Brauer foi a aplicação às funções L de Artin. Isso mostra que eles são construídos a partir de funções L de Dirichlet, ou funções L mais gerais da Hecke. Altamente significativo para essa aplicação é se cada caractere de G é uma combinação inteira não negativa de caracteres induzida de caracteres lineares de subgrupos. No geral, Este não é o caso. Na verdade, por um teorema de Taketa, se todos os caracteres de G são tão expressáveis, então G deve ser um grupo solúvel (embora a solubilidade por si só não garanta tais expressões- por exemplo, o grupo solucionável SL(2,3) tem um caráter complexo irredutível de grau 2 que não é exprimível como uma combinação inteira não negativa de caracteres induzida de caracteres lineares de subgrupos). Um ingrediente da prova do teorema de indução de Brauer é que quando G é um grupo nilpotente finito, todo caráter complexo irredutível de G é induzido de um caráter linear de algum subgrupo.

Referências Isaacs, EU ESTOU. (1994) [1976]. Teoria do Caráter de Grupos Finitos. Dover. ISBN 0-486-68014-2. Zbl 0849.20004. Reimpressão corrigida do 1976 original, Publicado pela Academic Press. Zbl 0337.20005 Further reading Snaith, V. P. (1994). Indução explícita de Brauer: Com aplicações em álgebra e teoria dos números. Estudos de Cambridge em Matemática Avançada. Volume. 40. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005. Notas ^ Serge Lang, Teoria dos Números Algébricos, apêndice ao capítulo XVI Categorias: Teoria da representação de grupos finitosTeoremas na teoria da representação