Teorema di Brauer sui caratteri indotti

Teorema di Brauer sui caratteri indotti Questo articolo include un elenco di riferimenti generali, ma manca di citazioni inline corrispondenti sufficienti. Aiutaci a migliorare questo articolo introducendo citazioni più precise. (Luglio 2020) (Scopri come e quando rimuovere questo messaggio modello) Teorema di Brauer sui caratteri indotti, spesso noto come teorema di induzione di Brauer, e prende il nome da Richard Brauer, è un risultato fondamentale nella branca della matematica nota come teoria dei caratteri, all'interno della teoria della rappresentazione di un gruppo finito.

Contenuti 1 Sfondo 2 Dichiarazione 3 Prove 4 Applicazioni 5 Riferimenti 6 Ulteriori letture 7 Notes Background A precursor to Brauer's induction theorem was Artin's induction theorem, che lo afferma |G| volte il carattere banale di G è una combinazione intera di caratteri che sono ciascuno indotto da caratteri banali di sottogruppi ciclici di G. Il teorema di Brauer rimuove il fattore |G|, ma a scapito dell'ampliamento della raccolta di sottogruppi utilizzati. Alcuni anni dopo apparve la dimostrazione del teorema di Brauer, JA. Il verde ha mostrato (in 1955) che nessun tale teorema di induzione (con combinazioni intere di caratteri indotte da caratteri lineari) potrebbe essere dimostrato con una raccolta di sottogruppi più piccoli dei sottogruppi elementari di Brauer.

Un altro risultato tra il teorema di induzione di Artin e il teorema di induzione di Brauer, anche a causa di Brauer e noto anche come teorema di Brauer o lemma di Brauer è il fatto che la rappresentazione regolare di G può essere scritta come {displaystyle 1+somma lambda _{io}ro _{io}} dove il {displaystyle lambda _{io}} sono razionali positivi e il {displaystyle rho _{io}} sono indotti da caratteri di sottogruppi ciclici di G. Si noti che nel teorema di Artin i caratteri sono indotti dal carattere banale del gruppo ciclico, mentre qui sono indotti da caratteri arbitrari (nelle applicazioni alle funzioni L di Artin è importante che i gruppi siano ciclici e quindi tutti i caratteri siano lineari dato che le corrispondenti funzioni L sono analitiche).[1] Statement Let G be a finite group and let Char(G) denota il sottoanello dell'anello di funzioni di classe a valori complessi di G costituite da combinazioni intere di caratteri irriducibili. Char(G) è conosciuto come l'anello caratteriale di G, e i suoi elementi sono conosciuti come personaggi virtuali (in alternativa, come caratteri generalizzati, o talvolta caratteri diversi). È un anello in virtù del fatto che il prodotto dei caratteri di G è ancora un carattere di G. La sua moltiplicazione è data dal prodotto per elementi delle funzioni di classe.

Il teorema di induzione di Brauer mostra che l'anello dei caratteri può essere generato (come gruppo abeliano) dai caratteri indotti della forma {displaystyle lambda _{H}^{G}} , dove H varia su sottogruppi di G e λ varia su caratteri lineari (avere una laurea 1) di H.

Infatti, Brauer ha mostrato che i sottogruppi H possono essere scelti da una collezione molto ristretta, ora chiamati sottogruppi elementari di Brauer. Questi sono prodotti diretti di gruppi ciclici e gruppi il cui ordine è una potenza di un numero primo.

Proofs The proof of Brauer's induction theorem exploits the ring structure of Char(G) (la maggior parte delle prove utilizza anche un anello leggermente più grande, Char*(G), Che consiste di {displaystyle mathbb {Z} [omega ]} -combinazioni di caratteri irriducibili, dove ω è un complesso primitivo |G|-la radice dell'unità). L'insieme delle combinazioni intere di caratteri indotte dai caratteri lineari dei sottogruppi elementari di Brauer è un I ideale(G) di Char(G), quindi la dimostrazione si riduce a mostrare che il carattere banale è in I(G). Diverse dimostrazioni del teorema, a cominciare da una dimostrazione dovuta a Brauer e John Tate, mostrare che il carattere banale è nell'ideale analogamente definito I*(G) di Char*(G) concentrando l'attenzione su un p primo alla volta, e costruire elementi a valori interi di I*(G) che differiscono (a livello di elementi) dal personaggio banale di (multipli interi di) una potenza sufficientemente elevata di p. Una volta ottenuto questo per ogni divisore primo di |G|, alcune manipolazioni con congruenze e interi algebrici, sfruttando ancora il fatto che io*(G) è un ideale di Ch*(G), porre il personaggio banale in I(G). Un risultato ausiliario qui è che a {displaystyle mathbb {Z} [omega ]} -la funzione di classe valutata si trova nell'ideale I*(G) se i suoi valori sono tutti divisibili (in {displaystyle mathbb {Z} [omega ]} ) di |G|.

Il teorema di induzione di Brauer è stato dimostrato 1946, e ora ci sono molte prove alternative. In 1986, Victor Snaith ha dato una prova con un approccio radicalmente diverso, di natura topologica (un'applicazione del teorema del punto fisso di Lefschetz). C'è stato un lavoro recente correlato sulla questione della ricerca di forme naturali ed esplicite del teorema di Brauer, in particolare da Robert Boltje.

Applications Using Frobenius reciprocity, Il teorema di induzione di Brauer conduce facilmente alla sua caratterizzazione fondamentale dei personaggi, che asserisce che una funzione di classe di G a valori complessi è un carattere virtuale se e solo se la sua restrizione a ciascun sottogruppo elementare di Brauer di G è un carattere virtuale. Questo risultato, insieme al fatto che un carattere virtuale θ è un carattere irriducibile se e solo se θ(1) > 0 e {displaystyle langle theta ,angolo theta =1} (dove {angolo dello stile di visualizzazione ,sonaglio } è il solito prodotto interno sull'anello delle funzioni di classe a valori complessi) fornisce un mezzo per costruire caratteri irriducibili senza costruire esplicitamente le rappresentazioni associate.

Una motivazione iniziale per il teorema di induzione di Brauer era l'applicazione alle funzioni L di Artin. Mostra che quelli sono costruiti dalle funzioni L di Dirichlet, o più generali Hecke L-funzioni. Molto significativo per tale applicazione è se ogni carattere di G è una combinazione intera non negativa di caratteri indotti da caratteri lineari di sottogruppi. In generale, Questo non è il caso. Infatti, da un teorema di Taketa, se tutti i caratteri di G sono così esprimibili, allora G deve essere un gruppo risolvibile (sebbene la sola risolvibilità non garantisca tali espressioni- Per esempio, il gruppo risolvibile SL(2,3) ha un carattere complesso irriducibile di grado 2 che non è esprimibile come una combinazione intera non negativa di caratteri indotti da caratteri lineari di sottogruppi). Un ingrediente della dimostrazione del teorema di induzione di Brauer è che quando G è un gruppo nilpotente finito, ogni carattere irriducibile complesso di G è indotto da un carattere lineare di qualche sottogruppo.

Riferimenti Isacco, IO SONO. (1994) [1976]. Teoria dei caratteri dei gruppi finiti. Dover. ISBN 0-486-68014-2. Zbl 0849.20004. Ristampa corretta del 1976 originale, pubblicato da Academic Press. Zbl 0337.20005 Further reading Snaith, V. P. (1994). Induzione Brauer esplicita: Con applicazioni all'algebra e alla teoria dei numeri. Studi Cambridge in matematica avanzata. vol. 40. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005. Note ^ Serge Lang, Teoria algebrica dei numeri, appendice al capitolo XVI Categorie: Teoria della rappresentazione dei gruppi finiti Teoremi nella teoria della rappresentazione