Théorème de Brauer sur les caractères induits

Théorème de Brauer sur les caractères induits Cet article comprend une liste de références générales, mais il manque suffisamment de citations en ligne correspondantes. Merci d'aider à améliorer cet article en introduisant des citations plus précises. (Juillet 2020) (Découvrez comment et quand supprimer ce modèle de message) Théorème de Brauer sur les caractères induits, souvent connu sous le nom de théorème d'induction de Brauer, et nommé d'après Richard Brauer, est un résultat de base dans la branche des mathématiques connue sous le nom de théorie des caractères, dans la théorie des représentations d'un groupe fini.

Contenu 1 Arrière plan 2 Déclaration 3 Preuves 4 Applications 5 Références 6 Lectures complémentaires 7 Notes Background A precursor to Brauer's induction theorem was Artin's induction theorem, qui stipule que |g| fois le caractère trivial de G est une combinaison entière de caractères qui sont chacun induits à partir de caractères triviaux de sous-groupes cycliques de G. Le théorème de Brauer supprime le facteur |g|, mais au détriment de l'élargissement de la collection de sous-groupes utilisés. Quelques années après l'apparition de la preuve du théorème de Brauer, J.A. Vert a montré (dans 1955) qu'aucun théorème d'induction de ce type (avec des combinaisons entières de caractères induites à partir de caractères linéaires) pourrait être prouvé avec une collection de sous-groupes plus petits que les sous-groupes élémentaires de Brauer.

Un autre résultat entre le théorème d'induction d'Artin et le théorème d'induction de Brauer, également dû à Brauer et également connu sous le nom de théorème de Brauer ou lemme de Brauer est le fait que la représentation régulière de G peut être écrite comme {style d'affichage 1+somme lambda _{je}rho _{je}} où le {style d'affichage lambda _{je}} sont des rationnels positifs et les {style d'affichage rho _{je}} sont induits à partir des caractères des sous-groupes cycliques de G. Notez que dans le théorème d'Artin les caractères sont induits du caractère trivial du groupe cyclique, alors qu'ici ils sont induits à partir de caractères arbitraires (dans les applications aux fonctions L d'Artin, il est important que les groupes soient cycliques et donc tous les caractères soient linéaires étant donné que les fonctions L correspondantes sont analytiques).[1] Statement Let G be a finite group and let Char(g) désignent le sous-anneau de l'anneau des fonctions de classe à valeurs complexes de G constitué de combinaisons entières de caractères irréductibles. Carboniser(g) est connu comme l'anneau de caractère de G, et ses éléments sont appelés personnages virtuels (alternativement, comme caractères généralisés, ou parfois des caractères de différence). C'est un anneau en vertu du fait que le produit des caractères de G est encore un caractère de G. Sa multiplication est donnée par le produit élément par élément des fonctions de classe.

Le théorème d'induction de Brauer montre que l'anneau de caractères peut être généré (en tant que groupe abélien) par des caractères induits de la forme {style d'affichage lambda _{H}^{g}} , où H s'étend sur des sous-groupes de G et λ s'étend sur des caractères linéaires (avoir un diplôme 1) de H.

En réalité, Brauer a montré que les sous-groupes H pouvaient être choisis dans une collection très restreinte, maintenant appelés sous-groupes élémentaires de Brauer. Ce sont des produits directs de groupes cycliques et de groupes dont l'ordre est une puissance d'un nombre premier.

Proofs The proof of Brauer's induction theorem exploits the ring structure of Char(g) (la plupart des épreuves utilisent également un anneau légèrement plus grand, Carboniser*(g), qui consiste en {style d'affichage mathbb {Z} [oméga ]} -combinaisons de caractères irréductibles, où ω est un complexe primitif |g|-ème racine de l'unité). L'ensemble des combinaisons entières de caractères induites à partir des caractères linéaires des sous-groupes élémentaires de Brauer est un idéal I(g) de Char(g), donc la preuve se réduit à montrer que le caractère trivial est dans I(g). Plusieurs preuves du théorème, commençant par une preuve due à Brauer et John Tate, montrer que le caractère trivial est dans l'idéal défini de manière analogue I*(g) de Char*(g) en concentrant l'attention sur un p premier à la fois, et construire des éléments entiers de I*(g) qui diffèrent (élément par élément) du caractère trivial par (multiples entiers de) une puissance suffisamment élevée de p. Une fois ceci atteint pour chaque diviseur premier de |g|, quelques manipulations avec des congruences et des entiers algébriques, exploitant à nouveau le fait que je *(g) est un idéal de Ch*(g), placer le caractère trivial dans I(g). Un résultat auxiliaire ici est qu'un {style d'affichage mathbb {Z} [oméga ]} -la fonction de classe valorisée réside dans l'idéal I*(g) si ses valeurs sont toutes divisibles (dans {style d'affichage mathbb {Z} [oméga ]} ) par |g|.

Le théorème d'induction de Brauer a été prouvé dans 1946, et il existe maintenant de nombreuses preuves alternatives. Dans 1986, Victor Snaith en a donné une preuve par une approche radicalement différente, de nature topologique (une application du théorème du point fixe de Lefschetz). Il y a eu des travaux récents sur la question de trouver des formes naturelles et explicites du théorème de Brauer, notamment par Robert Boltje.

Applications Using Frobenius reciprocity, Le théorème d'induction de Brauer conduit facilement à sa caractérisation fondamentale des caractères, qui affirme qu'une fonction de classe à valeurs complexes de G est un caractère virtuel si et seulement si sa restriction à chaque sous-groupe élémentaire de Brauer de G est un caractère virtuel. Ce résultat, avec le fait qu'un caractère virtuel θ est un caractère irréductible si et seulement si θ(1) > 0 et {style d'affichage langle thêta ,plage thêta = 1} (où {displaystyle langle ,hochet } est le produit scalaire habituel sur l'anneau des fonctions de classe à valeurs complexes) donne un moyen de construire des caractères irréductibles sans construire explicitement les représentations associées.

Une motivation initiale du théorème d'induction de Brauer était l'application aux fonctions L d'Artin. Il montre que ceux-ci sont construits à partir des fonctions L de Dirichlet, ou des fonctions L de Hecke plus générales. Il est très important pour cette application de savoir si chaque caractère de G est une combinaison entière non négative de caractères induits à partir de caractères linéaires de sous-groupes. En général, ce n'est pas le cas. En réalité, par un théorème de Taketa, si tous les caractères de G sont ainsi exprimables, alors G doit être un groupe résoluble (bien que la solvabilité seule ne garantisse pas de telles expressions- par exemple, le groupe résoluble SL(2,3) a un caractère complexe irréductible de degré 2 qui n'est pas exprimable comme une combinaison entière non négative de caractères induits à partir de caractères linéaires de sous-groupes). Un ingrédient de la preuve du théorème d'induction de Brauer est que lorsque G est un groupe nilpotent fini, tout caractère irréductible complexe de G est induit à partir d'un caractère linéaire d'un sous-groupe.

Références Isaacs, JE SUIS. (1994) [1976]. Théorie des caractères des groupes finis. Douvres. ISBN 0-486-68014-2. Zbl 0849.20004. Réimpression corrigée du 1976 original, publié par Academic Press. Zbl 0337.20005 Further reading Snaith, V. P. (1994). Induction de Brauer explicite: Avec des applications à l'algèbre et à la théorie des nombres. Études de Cambridge en mathématiques avancées. Volume. 40. la presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005. Notes ^ Serge Lang, Théorie algébrique des nombres, annexe au chapitre XVI Catégories: Théorie des représentations des groupes finisThéorèmes en théorie des représentations