Satz von Brauer über induzierte Charaktere

Satz von Brauer über induzierte Charaktere Dieser Artikel enthält eine Liste allgemeiner Referenzen, aber es fehlen genügend entsprechende Inline-Zitate. Bitte helfen Sie mit, diesen Artikel zu verbessern, indem Sie genauere Zitate einfügen. (Juli 2020) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können) Satz von Brauer über induzierte Charaktere, oft als Induktionssatz von Brauer bekannt, und benannt nach Richard Brauer, ist ein grundlegendes Ergebnis in dem Zweig der Mathematik, der als Charaktertheorie bekannt ist, innerhalb der Darstellungstheorie einer endlichen Gruppe.

Inhalt 1 Hintergrund 2 Aussage 3 Beweise 4 Anwendungen 5 Verweise 6 Weiterlesen 7 Notes Background A precursor to Brauer's induction theorem was Artin's induction theorem, die besagt, dass |G| mal der triviale Charakter von G ist eine ganzzahlige Kombination von Charakteren, die jeweils aus trivialen Charakteren zyklischer Untergruppen von G induziert werden. Der Satz von Brauer entfernt den Faktor |G|, aber auf Kosten der Erweiterung der Sammlung verwendeter Untergruppen. Einige Jahre nachdem der Beweis des Satzes von Brauer erschienen war, JA. Grün zeigte (in 1955) dass kein solcher Induktionssatz (mit ganzzahligen Kombinationen von Zeichen, die von linearen Zeichen induziert werden) konnte mit einer Sammlung von Untergruppen nachgewiesen werden, die kleiner als die elementaren Brauer-Untergruppen sind.

Ein weiteres Ergebnis zwischen dem Induktionssatz von Artin und dem Induktionssatz von Brauer, ebenfalls auf Brauer zurückzuführen und auch als Satz von Brauer oder Lemma von Brauer bekannt, ist die Tatsache, dass die reguläre Darstellung von G geschrieben werden kann als {Anzeigestil 1+Summe Lambda _{ich}rho_{ich}} bei dem die {Anzeigestil Lambda _{ich}} sind positive rationale und die {Anzeigestil rho _{ich}} werden von Merkmalen zyklischer Untergruppen von G induziert. Beachten Sie, dass in Artins Satz die Zeichen aus dem trivialen Charakter der zyklischen Gruppe induziert werden, während sie hier von willkürlichen Zeichen induziert werden (Bei Anwendungen auf die L-Funktionen von Artin ist es wichtig, dass die Gruppen zyklisch sind und daher alle Zeichen linear sind, was bedeutet, dass die entsprechenden L-Funktionen analytisch sind).[1] Statement Let G be a finite group and let Char(G) bezeichnen den Teilring des Rings komplexwertiger Klassenfunktionen von G, der aus ganzzahligen Kombinationen irreduzibler Zeichen besteht. Verkohlen(G) ist bekannt als der Charakterring von G, und seine Elemente werden als virtuelle Charaktere bezeichnet (Alternative, als verallgemeinerte Charaktere, oder manchmal Differenzzeichen). Es ist ein Ring, weil das Produkt von Charakteren von G wieder ein Charakter von G ist. Seine Multiplikation ist durch das elementweise Produkt von Klassenfunktionen gegeben.

Der Induktionssatz von Brauer zeigt, dass der Zeichenring erzeugt werden kann (als abelsche Gruppe) durch induzierte Charaktere der Form {Anzeigestil Lambda _{H}^{G}} , wobei H über Untergruppen von G und λ über lineare Zeichen reicht (Abschluss haben 1) von H.

In der Tat, Brauer zeigte, dass die Untergruppen H aus einer sehr begrenzten Sammlung ausgewählt werden können, jetzt Brauer elementare Untergruppen genannt. Dies sind direkte Produkte zyklischer Gruppen und Gruppen, deren Ordnung eine Potenz einer Primzahl ist.

Proofs The proof of Brauer's induction theorem exploits the ring structure of Char(G) (Die meisten Beweise verwenden auch einen etwas größeren Ring, Verkohlen*(G), was aus ... besteht {Anzeigestil mathbb {Z} [Omega ]} -Kombinationen irreduzibler Zeichen, wobei ω ein primitiver Komplex ist |G|-Wurzel der Einheit). Die Menge der ganzzahligen Kombinationen von Zeichen, die von linearen Zeichen der Brauer-Elementaruntergruppen induziert werden, ist ein ideales I(G) von Char(G), der Beweis reduziert sich also darauf zu zeigen, dass der triviale Charakter in I ist(G). Mehrere Beweise des Theorems, beginnend mit einem Beweis von Brauer und John Tate, Zeigen Sie, dass der triviale Charakter im analog definierten Ideal I*(G) von Char*(G) indem Sie die Aufmerksamkeit jeweils auf eine Primzahl p konzentrieren, und Konstruieren ganzzahliger Elemente von I*(G) die sich unterscheiden (elementweise) von der trivialen Figur durch (ganzzahlige Vielfache von) eine ausreichend hohe Potenz von p. Einmal ist dies für jeden Primteiler von erreicht |G|, einige Manipulationen mit Kongruenzen und algebraischen ganzen Zahlen, wieder die Tatsache ausnutzen, dass ich *(G) ist ein Ideal von Ch*(G), setze das triviale Zeichen in I(G). Ein Hilfsresultat hier ist, dass a {Anzeigestil mathbb {Z} [Omega ]} -geschätzte Klassenfunktion liegt im Ideal I*(G) wenn seine Werte alle teilbar sind (in {Anzeigestil mathbb {Z} [Omega ]} ) durch |G|.

Der Induktionssatz von Brauer wurde bewiesen 1946, und es gibt jetzt viele alternative Beweise. Im 1986, Victor Snaith lieferte einen Beweis durch einen radikal anderen Ansatz, topologischer Natur (eine Anwendung des Lefschetz-Fixpunktsatzes). Es gibt diesbezügliche neuere Arbeiten zur Frage, natürliche und explizite Formen des Satzes von Brauer zu finden, insbesondere von Robert Boltje.

Applications Using Frobenius reciprocity, Brauers Induktionssatz führt leicht zu seiner grundlegenden Charakterisierung von Charakteren, die behauptet, dass eine komplexwertige Klassenfunktion von G genau dann ein virtuelles Zeichen ist, wenn ihre Beschränkung auf jede elementare Brauer-Untergruppe von G ein virtuelles Zeichen ist. Dieses Ergebnis, zusammen mit der Tatsache, dass ein virtuelles Zeichen θ genau dann ein irreduzibles Zeichen ist, wenn θ(1) > 0 und {displaystyle langle theta ,Theta-Bereich = 1} (wo {displaystyle langle ,Rassel } ist das übliche Skalarprodukt auf dem Ring komplexwertiger Klassenfunktionen) bietet eine Möglichkeit, irreduzible Zeichen zu konstruieren, ohne die zugehörigen Darstellungen explizit zu konstruieren.

Eine anfängliche Motivation für den Induktionssatz von Brauer war die Anwendung auf L-Funktionen von Artin. Es zeigt, dass diese aus Dirichlet L-Funktionen aufgebaut sind, oder allgemeinere Hecke L-Funktionen. Für diese Anwendung ist es von großer Bedeutung, ob jedes Zeichen von G eine nicht negative ganzzahlige Kombination von Zeichen ist, die von linearen Zeichen von Untergruppen induziert wird. Im Algemeinen, das ist nicht der Fall. In der Tat, nach einem Satz von Taketa, wenn alle Charaktere von G so ausdrückbar sind, dann muss G eine auflösbare Gruppe sein (obwohl die Löslichkeit allein solche Ausdrücke nicht garantiert- zum Beispiel, die auflösbare Gruppe SL(2,3) hat einen irreduziblen komplexen Gradcharakter 2 die nicht als nicht-negative ganzzahlige Kombination von Zeichen ausgedrückt werden kann, die von linearen Zeichen von Untergruppen induziert wird). Ein Bestandteil des Beweises des Induktionssatzes von Brauer ist, dass wenn G eine endliche nilpotente Gruppe ist, jeder komplexe irreduzible Charakter von G wird von einem linearen Charakter einer Untergruppe induziert.

Referenzen Isaacs, ICH BIN. (1994) [1976]. Charaktertheorie endlicher Gruppen. Dover. ISBN 0-486-68014-2. Zbl 0849.20004. Korrigierter Nachdruck der 1976 Original, herausgegeben von Academic Press. Zbl 0337.20005 Further reading Snaith, v. P. (1994). Explizite Brauer-Induktion: Mit Anwendungen zur Algebra und Zahlentheorie. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 40. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005. Anmerkungen ^ Serge Lang, Algebraische Zahlentheorie, Anhang zu Kapitel XVI Kategorien: Darstellungstheorie endlicher GruppenTheoreme der Darstellungstheorie