Teorema de Brauer-Siegel

Teorema de Brauer-Siegel Em matemática, o teorema de Brauer-Siegel, em homenagem a Richard Brauer e Carl Ludwig Siegel, é um resultado assintótico sobre o comportamento de campos numéricos algébricos, obtido por Richard Brauer e Carl Ludwig Siegel. Ele tenta generalizar os resultados conhecidos sobre os números de classe de corpos quadráticos imaginários, para uma sequência mais geral de campos numéricos {estilo de exibição K_{1},K_{2},ldots . } Em todos os casos, exceto o campo racional Q e os campos quadráticos imaginários, o regulador Ri de Ki deve ser levado em consideração, porque Ki então tem unidades de ordem infinita pelo teorema da unidade de Dirichlet. A hipótese quantitativa do teorema padrão de Brauer-Siegel é que se Di é o discriminante de Ki, então {estilo de exibição {fratura {[K_{eu}:mathbf {Q} ]}{registro |D_{eu}|}}para 0{texto{ Como }}este infty .} Assumindo que, e a hipótese algébrica de que Ki é uma extensão de Galois de Q, a conclusão é que {estilo de exibição {fratura {registro(h_{eu}R_{eu})}{registro {quadrado {|D_{eu}|}}}}para 1{texto{ Como }}este infty } onde hi é o número da classe de Ki. Se assumirmos que todos os graus {estilo de exibição [K_{eu}:mathbf {Q} ]} são limitados acima por uma constante uniforme N, então pode-se abandonar a suposição de normalidade - isso é o que está realmente provado no artigo de Brauer.

Este resultado é ineficaz, como de fato foi o resultado em campos quadráticos sobre os quais construiu. Resultados efetivos na mesma direção foram iniciados no trabalho de Harold Stark a partir do início da década de 1970.

Referências Richard Brauer, Sobre a função Zeta de campos numéricos algébricos, Revista Americana de Matemática 69 (1947), 243-250.

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