Théorème de Brauer-Siegel

Théorème de Brauer-Siegel En mathématiques, le théorème de Brauer-Siegel, nommé d'après Richard Brauer et Carl Ludwig Siegel, est un résultat asymptotique sur le comportement des corps de nombres algébriques, obtenu par Richard Brauer et Carl Ludwig Siegel. Il tente de généraliser les résultats connus sur les numéros de classe des champs quadratiques imaginaires, à une séquence plus générale de champs numériques {style d'affichage K_{1},K_{2},ldots . } Dans tous les cas autres que le champ rationnel Q et les champs quadratiques imaginaires, le régulateur Ri de Ki doit être pris en compte, car Ki a alors des unités d'ordre infini par le théorème unitaire de Dirichlet. L'hypothèse quantitative du théorème standard de Brauer-Siegel est que si Di est le discriminant de Ki, alors {style d'affichage {frac {[K_{je}:mathbf {Q} ]}{Journal |RÉ_{je}|}}à 0{texte{ comme }}cet infime .} En admettant que, et l'hypothèse algébrique que Ki est une extension galoisienne de Q, la conclusion est que {style d'affichage {frac {Journal(h_{je}R_{je})}{Journal {sqrt {|RÉ_{je}|}}}}à 1{texte{ comme }}cet infime } où hi est le numéro de classe de Ki. Si l'on suppose que tous les degrés {style d'affichage [K_{je}:mathbf {Q} ]} sont bornés au-dessus par une constante uniforme N, alors on peut abandonner l'hypothèse de normalité - c'est ce qui est réellement prouvé dans l'article de Brauer.

Ce résultat est inefficace, comme d'ailleurs le résultat sur les champs quadratiques sur lesquels il a construit. Des résultats efficaces dans le même sens ont été initiés dans les travaux de Harold Stark à partir du début des années 1970.

Références Richard Brauer, Sur la fonction Zeta des corps de nombres algébriques, Journal américain de mathématiques 69 (1947), 243–250.

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