Brauer–Siegel theorem

Satz von Brauer-Siegel In der Mathematik, das Brauer-Siegel-Theorem, benannt nach Richard Brauer und Carl Ludwig Siegel, ist ein asymptotisches Ergebnis über das Verhalten algebraischer Zahlenkörper, erhalten von Richard Brauer und Carl Ludwig Siegel. Es versucht, die bekannten Ergebnisse auf die Klassenzahlen imaginärer quadratischer Körper zu verallgemeinern, zu einer allgemeineren Folge von Zahlenfeldern {Anzeigestil K_{1},K_{2},Punkte . } In allen anderen Fällen als dem rationalen Körper Q und imaginären quadratischen Körpern, der Regler Ri von Ki muss berücksichtigt werden, weil Ki dann Einheiten unendlicher Ordnung nach Dirichlets Einheitssatz hat. Die quantitative Hypothese des Standardsatzes von Brauer-Siegel lautet: Wenn Di die Diskriminante von Ki ist, dann {Anzeigestil {frac {[K_{ich}:mathbf {Q} ]}{Protokoll |D_{ich}|}}zu 0{Text{ wie }}diese unendlich .} Vorausgesetzt, dass, und die algebraische Hypothese, dass Ki eine Galois-Erweiterung von Q ist, die Schlussfolgerung ist, dass {Anzeigestil {frac {Protokoll(h_{ich}R_{ich})}{Protokoll {quadrat {|D_{ich}|}}}}zu 1{Text{ wie }}diese unendlich } wobei hi die Klassennummer von Ki ist. Wenn man davon ausgeht, dass alle Grade {Anzeigestil [K_{ich}:mathbf {Q} ]} sind nach oben durch eine einheitliche Konstante N begrenzt, dann kann man die Annahme der Normalität fallen lassen - das ist es, was in Brauers Arbeit tatsächlich bewiesen wird.

Dieses Ergebnis ist unwirksam, wie in der Tat das Ergebnis auf quadratischen Feldern, auf denen es aufbaute. Effektive Ergebnisse in die gleiche Richtung wurden in der Arbeit von Harold Stark aus den frühen 1970er Jahren initiiert.

Referenzen Richard Brauer, Zur Zeta-Funktion algebraischer Zahlenkörper, Amerikanisches Journal für Mathematik 69 (1947), 243–250.

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