Teorema di Brauer-Nesbitt

Teorema di Brauer-Nesbitt In matematica, il teorema di Brauer-Nesbitt può riferirsi a diversi teoremi dimostrati da Richard Brauer e Cecil J. Nesbitt nella teoria della rappresentazione dei gruppi finiti.

Nella teoria della rappresentazione modulare, il teorema di Brauer-Nesbitt sui blocchi di difetto zero afferma che un carattere il cui ordine è divisibile per la potenza massima di un primo p che divide l'ordine di un gruppo finito rimane irriducibile quando ridotto mod p e svanisce su tutti gli elementi il ​​cui ordine è divisibile per p. Inoltre, appartiene a un blocco di difetto zero. Un blocco di difetto zero contiene solo un carattere ordinario e un solo carattere modulare.

Un'altra versione afferma che se k è un campo di caratteristica zero, A è una k-algebra, V, W sono moduli A semisemplici che sono di dimensione finita su k, e TrV = TrW come elementi di Homk(UN,K), quindi V e W sono isomorfi come moduli A.

Permettere {stile di visualizzazione G} essere un gruppo e {stile di visualizzazione E} essere un campo. Se {displaystyle rho _{io}:Gto GL_{n}(e),i=1,2} sono due rappresentazioni semisemplici a dimensione finita tali che i polinomi caratteristici di {displaystyle rho _{1}(g)} e {displaystyle rho _{2}(g)} coincidono per tutti {displaystyle gin G} , poi {displaystyle rho _{1}} e {displaystyle rho _{2}} sono rappresentazioni isomorfe. Se {displaystyle char(e)=0} o {displaystyle char(e)>n} , quindi la condizione sui polinomi caratteristici può essere cambiata nella condizione di cui le tracce {displaystyle rho _{1}(g)} e {displaystyle rho _{2}(g)} coincidono per tutti {displaystyle gin G} . Come conseguenza, permettere {stile di visualizzazione rho :Gal(K^{S}/K)a GL_{n}({sopra {mathbb {Q} }}_{l})} essere un semisemplice (continuo) {stile di visualizzazione l} -rappresentazioni adiche del gruppo assoluto di Galois di qualche campo {stile di visualizzazione K} , non ramificati al di fuori di un insieme finito di numeri primi {displaystyle Ssottoinsieme M_{K}} . Quindi la rappresentazione è determinata in modo univoco dai valori delle tracce di {stile di visualizzazione rho (Frob_{p})} per {pin stile di visualizzazione M_{K}^{0}-S} (anche usando il teorema della densità di Chebotarev).

Riferimenti Curtis, Reiner, Teoria della rappresentazione di gruppi finiti e algebre associative, Wiley 1962. Brauer, R.; Nesbit, C. Sui caratteri modulari dei gruppi. Anna. di matematica. (2) 42, (1941). 556-590. Questo articolo sull'algebra astratta è solo un abbozzo. Puoi aiutare Wikipedia espandendolo.

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