Teorema de Bourbaki-Witt

Teorema de Bourbaki-Witt Em matemática, o teorema de Bourbaki-Witt na teoria da ordem, em homenagem a Nicolas Bourbaki e Ernst Witt, é um teorema básico de ponto fixo para conjuntos parcialmente ordenados. Ele afirma que se X é um poset completo de cadeia não vazia, e {estilo de exibição f:X a X} de tal modo que {estilo de exibição f(x)nerd x} para todos {estilo de exibição x,} então f tem um ponto fixo. Tal função f é chamada de inflacionária ou progressiva.

Conteúdo 1 Caso especial de um poset finito 2 Prova do teorema 3 Formulários 4 References Special case of a finite poset If the poset X is finite then the statement of the theorem has a clear interpretation that leads to the proof. A sequência de iterações sucessivas, {estilo de exibição x_{n+1}=f(x_{n}),n=0,1,2,ldots ,} onde x0 é qualquer elemento de X, é monótono aumentando. Pela finitude de X, estabiliza: {estilo de exibição x_{n}=x_{infty },} para n suficientemente grande.

Segue que x∞ é um ponto fixo de f.

Proof of the theorem Pick some {estilo de exibição yin X} . Defina uma função K recursivamente nos ordinais como segue: {estilo de exibição ,K(0)=y} {estilo de exibição ,K(alfa +1)=f(K(alfa )).} Se {beta de estilo de exibição } é um ordinal limite, então por construção {estilo de exibição {K(alfa ) : alfa x}).} Isso é permitido como, por suposição, o conjunto não está vazio. Então f(x) > x, então f é uma função inflacionária sem ponto fixo, contradizendo o teorema.

Este caso especial do lema de Zorn é então usado para provar o princípio da maximalidade de Hausdorff, que todo poset tem uma cadeia máxima, que é facilmente visto como equivalente ao Lema de Zorn.

Bourbaki–Witt tem outras aplicações. Em especial na informática, é usado na teoria das funções computáveis. Também é usado para definir tipos de dados recursivos, por exemplo. listas vinculadas, na teoria do domínio.

Referências Nicolas Bourbaki (1949). "Pelo teorema de Zorn". Arquivo de Matemática. 2 (6): 434-437. doi:10.1007/bf02036949. S2CID 117826806. Ernest Witt (1951). "Estudos de prova para o teorema de M. Zorn". Notícias matemáticas. 4: 434-438. doi:10.1002/mana.3210040138. Categorias: Teoria da ordemTeoremas de ponto fixoTeoremas nos fundamentos da matemática