Théorème de Bourbaki-Witt

Théorème de Bourbaki-Witt En mathématiques, le théorème de Bourbaki-Witt en théorie de l'ordre, nommé d'après Nicolas Bourbaki et Ernst Witt, est un théorème de base du point fixe pour les ensembles partiellement ordonnés. Il indique que si X est un poset complet de chaîne non vide, et {style d'affichage f:Xà X} tel que {style d'affichage f(X)merde x} pour tous {style d'affichage x,} alors f admet un point fixe. Une telle fonction f est dite inflationnaire ou progressive.

Contenu 1 Cas particulier d'un poset fini 2 Preuve du théorème 3 Applications 4 References Special case of a finite poset If the poset X is finite then the statement of the theorem has a clear interpretation that leads to the proof. L'enchaînement des itérations successives, {style d'affichage x_{n+1}=f(X_{n}),n=0,1,2,lpoints ,} où x0 est un élément quelconque de X, est monotone croissant. Par la finitude de X, ça se stabilise: {style d'affichage x_{n}=x_{infime },} pour n suffisamment grand.

Il s'ensuit que x∞ est un point fixe de f.

Proof of the theorem Pick some {style d'affichage yin X} . Définir une fonction K récursivement sur les ordinaux comme suit: {style d'affichage ,K(0)=y} {style d'affichage ,K(alpha +1)=f(K(alpha )).} Si {style d'affichage bêta } est un ordinal limite, puis par construction {style d'affichage {K(alpha ) : alpha X}).} Ceci est autorisé comme, par hypothèse, l'ensemble n'est pas vide. Alors f(X) > x, donc f est une fonction inflationnaire sans point fixe, contredit le théorème.

Ce cas particulier du lemme de Zorn est ensuite utilisé pour prouver le principe de maximalité de Hausdorff, que chaque poset a une chaîne maximale, qui est facilement considéré comme équivalent au lemme de Zorn.

Bourbaki-Witt a d'autres applications. Notamment en informatique, il est utilisé dans la théorie des fonctions calculables. Il est également utilisé pour définir des types de données récursifs, par exemple. listes liées, en théorie des domaines.

References Nicolas Bourbaki (1949). "Sur le théorème de Zorn". Archives des mathématiques. 2 (6): 434–437. est ce que je:10.1007/bf02036949. S2CID 117826806. Ernest Witt (1951). "Études de preuve pour le théorème de M. Zorn". Actualités mathématiques. 4: 434–438. est ce que je:10.1002/mana.3210040138. Catégories: Théorie de l'ordreThéorèmes du point fixeThéorèmes des fondements des mathématiques