Teorema inverso limitado

Teorema inverso limitado Em matemática, o teorema inverso limitado (ou teorema de mapeamento inverso) é um resultado na teoria de operadores lineares limitados em espaços de Banach. Ele afirma que um operador linear limitado bijetivo T de um espaço de Banach para outro tem T−1 inverso limitado. É equivalente tanto ao teorema do mapeamento aberto quanto ao teorema do grafo fechado.

Conteúdo 1 Generalização 2 Contra-exemplo 3 Veja também 4 Referências 5 Bibliography Generalization Theorem[1] — If A : X → Y é uma bijeção linear contínua de um espaço vetorial topológico pseudometrizável completo (TV) em uma Hausdorff TVS que é um espaço Baire, then A : X → Y é um homeomorfismo (e, portanto, um isomorfismo de TVSs).

Counterexample This theorem may not hold for normed spaces that are not complete. Por exemplo, consider the space X of sequences x : N → R with only finitely many non-zero terms equipped with the supremum norm. The map T : X → X defined by {estilo de exibição Tx=esquerda(x_{1},{fratura {x_{2}}{2}},{fratura {x_{3}}{3}},pontos certos)} é limitado, linear e inversível, mas T−1 é ilimitado. Isso não contradiz o teorema inverso limitado, pois X não é completo, e, portanto, não é um espaço de Banach. Para ver que não está completo, considere a sequência de sequências x(n) ∈ X given by {estilo de exibição x^{(n)}= esquerda(1,{fratura {1}{2}},pontos ,{fratura {1}{n}},0,0,pontos certos)} converges as n → ∞ to the sequence x(∞) dado por {estilo de exibição x^{(infty )}= esquerda(1,{fratura {1}{2}},pontos ,{fratura {1}{n}},pontos certos),} que tem todos os seus termos diferentes de zero, e por isso não está em X.

A conclusão de X é o espaço {estilo de exibição c_{0}} de todas as sequências que convergem para zero, que é um (fechado) subespaço do espaço ℓp ℓ∞(N), que é o espaço de todas as sequências limitadas. No entanto, nesse caso, o mapa T não está em, e, portanto, não uma bijeção. Para ver isso, basta notar que a sequência {estilo de exibição x = esquerda(1,{fratura {1}{2}},{fratura {1}{3}},pontos certos),} é um elemento de {estilo de exibição c_{0}} , mas não está na faixa de {estilo de exibição T:c_{0}para c_{0}} .

See also Almost open linear map Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Open mapping theorem (análise funcional) – Condition for a linear operator to be open Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliografia Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaços Vetoriais Topológicos I. Noções básicas de ciências matemáticas. Volume. 159. Traduzido por Garling, D.J.H. Nova york: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704. Narinas, Lourenço; Beckenstein, Eduardo (2011). Espaços vetoriais topológicos. Matemática pura e aplicada (Second ed.). Boca Raton, FL: Imprensa CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Renardy, Michael; Roger, Roberto C. (2004). Uma introdução às equações diferenciais parciais. Textos em Matemática Aplicada 13 (Second ed.). Nova york: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Seção 8.2) Wilansky, Alberto (2013). Métodos modernos em espaços vetoriais topológicos. Mineola, Nova york: Publicações de Dover, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. show vte Functional analysis (tópicos – glossário) mostrar espaços vetoriais topológicos vte (TV) Categorias: Teoria dos operadoresTeoremas em análise funcional