Teorema inverso limitato

Teorema inverso limitato In matematica, il teorema dell'inverso limitato (o teorema di mappatura inversa) è un risultato nella teoria degli operatori lineari limitati su spazi di Banach. Afferma che un operatore lineare biunivoco limitato T da uno spazio di Banach a un altro ha limitato T−1 inverso. È equivalente sia al teorema della mappatura aperta che al teorema del grafo chiuso.

Contenuti 1 Generalizzazione 2 Controesempio 3 Guarda anche 4 Riferimenti 5 Bibliography Generalization Theorem[1] — If A : X → Y è una biiezione lineare continua da uno spazio vettoriale topologico pseudometrizzabile completo (TV) su un Hausdorff TVS che è uno spazio Baire, then A : X → Y è un omeomorfismo (e quindi un isomorfismo di TVS).

Counterexample This theorem may not hold for normed spaces that are not complete. Per esempio, consider the space X of sequences x : N → R with only finitely many non-zero terms equipped with the supremum norm. The map T : X → X defined by {displaystyle Tx=sinistra(X_{1},{frac {X_{2}}{2}},{frac {X_{3}}{3}},punti a destra)} è delimitato, lineare e invertibile, ma T−1 è illimitato. Ciò non contraddice il teorema inverso limitato poiché X non è completo, e quindi non è uno spazio di Banach. Per vedere che non è completo, considera la sequenza di successioni x(n) ∈ X given by {stile di visualizzazione x^{(n)}= sinistra(1,{frac {1}{2}},punti ,{frac {1}{n}},0,0,punti a destra)} converges as n → ∞ to the sequence x(∞) dato da {stile di visualizzazione x^{(infty )}= sinistra(1,{frac {1}{2}},punti ,{frac {1}{n}},punti a destra),} che ha tutti i suoi termini diversi da zero, e quindi non sta in X.

Il completamento di X è lo spazio {stile di visualizzazione c_{0}} di tutte le successioni che convergono a zero, il quale è un (Chiuso) sottospazio dello ℓp spazio ℓ∞(N), che è lo spazio di tutte le sequenze limitate. Tuttavia, in questo caso, la mappa T non è su, e quindi non una biiezione. Per vedere questo, bisogna semplicemente notare che la sequenza {stile di visualizzazione x=sinistra(1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},punti a destra),} è un elemento di {stile di visualizzazione c_{0}} , ma non è nell'intervallo di {stile di visualizzazione T:c_{0}a c_{0}} .

See also Almost open linear map Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Open mapping theorem (analisi funzionale) – Condition for a linear operator to be open Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliografia Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Spazi vettoriali topologici I. Fondamenti di scienze matematiche. vol. 159. Tradotto da Garling, DJH. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SIG 0248498. OCLC 840293704. Narici, Lawrence; Beckenstein, Edoardo (2011). Spazi vettoriali topologici. Matematica pura e applicata (Seconda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Renardo, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Testi in Matematica Applicata 13 (Seconda ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Sezione 8.2) Wilansky, Alberto (2013). Metodi moderni in spazi vettoriali topologici. Mineola, New York: Pubblicazioni di Dover, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. show vte Functional analysis (argomenti – glossario) mostra vte Spazi vettoriali topologici (TV) Categorie: Teoria degli operatori Teoremi nell'analisi funzionale