Théorème inverse borné

Théorème inverse borné En mathématiques, le théorème inverse borné (ou théorème de cartographie inverse) est un résultat de la théorie des opérateurs linéaires bornés sur les espaces de Banach. Il stipule qu'un opérateur linéaire bijectif borné T d'un espace de Banach à un autre a l'inverse borné T−1. Il équivaut à la fois au théorème de cartographie ouverte et au théorème de graphe fermé.

Contenu 1 Généralisation 2 Contre-exemple 3 Voir également 4 Références 5 Bibliography Generalization Theorem[1] — If A : X → Y est une bijection linéaire continue à partir d'un espace vectoriel topologique pseudométrisable complet (téléviseurs) sur un téléviseur Hausdorff qui est un espace Baire, then A : X → Y est un homéomorphisme (et donc un isomorphisme de TVS).

Counterexample This theorem may not hold for normed spaces that are not complete. Par exemple, consider the space X of sequences x : N → R with only finitely many non-zero terms equipped with the supremum norm. The map T : X → X defined by {style d'affichage Tx=gauche(X_{1},{frac {X_{2}}{2}},{frac {X_{3}}{3}},points à droite)} est délimité, linéaire et inversible, mais T−1 est illimité. Cela ne contredit pas le théorème inverse borné puisque X n'est pas complet, et n'est donc pas un espace de Banach. Pour voir que ce n'est pas complet, considérons la suite de suites x(n) ∈ X given by {style d'affichage x^{(n)}=gauche(1,{frac {1}{2}},des points ,{frac {1}{n}},0,0,points à droite)} converges as n → ∞ to the sequence x(∞) donné par {style d'affichage x^{(infime )}=gauche(1,{frac {1}{2}},des points ,{frac {1}{n}},points à droite),} qui a tous ses termes non nuls, et donc ne réside pas dans X.

La complétion de X est l'espace {displaystyle c_{0}} de toutes les suites qui convergent vers zéro, qui est un (fermé) sous-espace de l'espace ℓp ℓ∞(N), qui est l'espace de toutes les suites bornées. Cependant, dans ce cas, la carte T n'est pas sur, et donc pas une bijection. Pour voir ça, il suffit de noter que la séquence {style d'affichage x=gauche(1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},points à droite),} est un élément de {displaystyle c_{0}} , mais n'est pas dans la gamme de {style d'affichage T:c_{0}à c_{0}} .

See also Almost open linear map Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Open mapping theorem (analyse fonctionnelle) – Condition for a linear operator to be open Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliographie Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaces vectoriels topologiques I. Bases des sciences mathématiques. Volume. 159. Traduit par Garling, DJH. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. M 0248498. OCLC 840293704. Narines, Laurent; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques. Mathématiques pures et appliquées (Deuxième éd.). Boca Ratón, Floride: Presse du CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Renardy, Michael; Roger, Robert C.. (2004). Une introduction aux équations aux dérivées partielles. Textes en mathématiques appliquées 13 (Deuxième éd.). New York: Springer Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Section 8.2) Wilanski, Albert (2013). Méthodes modernes dans les espaces vectoriels topologiques. Mineola, New York: Publications de Douvres, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. show vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) show vte Espaces vectoriels topologiques (téléviseurs) Catégories: Théorie des opérateursThéorèmes en analyse fonctionnelle

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