Beschränkter Umkehrsatz

Beschränkter Umkehrsatz In der Mathematik, der beschränkte Umkehrsatz (oder inverser Abbildungssatz) ist ein Ergebnis der Theorie beschränkter linearer Operatoren auf Banachräumen. Sie besagt, dass ein bijektiv beschränkter linearer Operator T von einem Banachraum zum anderen eine beschränkte Inverse T−1 hat. Es ist sowohl dem Satz der offenen Abbildung als auch dem Satz des geschlossenen Graphen äquivalent.

Inhalt 1 Verallgemeinerung 2 Gegenbeispiel 3 Siehe auch 4 Verweise 5 Bibliography Generalization Theorem[1] — If A : X → Y ist eine kontinuierliche lineare Bijektion aus einem vollständigen pseudometrisierbaren topologischen Vektorraum (Fernseher) auf ein Hausdorff TVS, das ein Baire-Raum ist, then A : X → Y ist ein Homöomorphismus (und damit ein Isomorphismus von TVSs).

Counterexample This theorem may not hold for normed spaces that are not complete. Zum Beispiel, consider the space X of sequences x : N → R with only finitely many non-zero terms equipped with the supremum norm. The map T : X → X defined by {Anzeigestil Tx=links(x_{1},{frac {x_{2}}{2}},{frac {x_{3}}{3}},Punkte richtig)} ist begrenzt, linear und invertierbar, aber T−1 ist unbeschränkt. Dies widerspricht nicht dem beschränkten Umkehrsatz, da X nicht vollständig ist, und ist somit kein Banachraum. Um zu sehen, dass es nicht vollständig ist, Betrachten Sie die Folge von Folgen x(n) ∈ X given by {Anzeigestil x^{(n)}=links(1,{frac {1}{2}},Punkte ,{frac {1}{n}},0,0,Punkte richtig)} converges as n → ∞ to the sequence x(∞) gegeben von {Anzeigestil x^{(unendlich )}=links(1,{frac {1}{2}},Punkte ,{frac {1}{n}},Punkte richtig),} die alle ihre Terme ungleich Null hat, liegt also nicht in X.

Die Vervollständigung von X ist der Raum {Anzeigestil c_{0}} aller Folgen, die gegen Null konvergieren, die ein (abgeschlossen) Unterraum des ℓp-Raums ℓ∞(N), das ist der Raum aller beschränkten Folgen. Jedoch, in diesem Fall, die Karte T ist nicht auf, und damit keine Bijektion. Um das zu sehen, man muss nur beachten, dass die Reihenfolge {Anzeigestil x=links(1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},Punkte richtig),} ist ein Element von {Anzeigestil c_{0}} , liegt aber nicht im Bereich von {Anzeigestil T:c_{0}zu c_{0}} .

See also Almost open linear map Closed graph Closed graph theorem – Theorem relating continuity to graphs Open mapping theorem (Funktionsanalyse) – Condition for a linear operator to be open Surjection of Fréchet spaces – Characterization of surjectivity Webbed space – Space where open mapping and closed graph theorems hold References ^ Narici & Beckenstein 2011, p. 469. Bibliographie Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologische Vektorräume I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Übersetzt von Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. HERR 0248498. OCLC 840293704. Nasenlöcher, Laurentius; Beckenstein, Eduard (2011). Topologische Vektorräume. Reine und angewandte Mathematik (Zweite Aufl.). Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Eine Einführung in partielle Differentialgleichungen. Texte zur Angewandten Mathematik 13 (Zweite Aufl.). New York: Springer-Verlag. pp. 356. ISBN 0-387-00444-0. (Abschnitt 8.2) Wilansky, Albert (2013). Moderne Methoden in topologischen Vektorräumen. Mineola, New York: Dover-Veröffentlichungen, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114. show vte Functional analysis (Themen – Glossar) show vte Topologische Vektorräume (Fernseher) Kategorien: OperatortheorieTheoreme in der Funktionalanalysis