Teorema da periodicidade de Bott

Teorema da periodicidade de Bott Em matemática, o teorema da periodicidade de Bott descreve uma periodicidade nos grupos de homotopia de grupos clássicos, discovered by Raoul Bott (1957, 1959), que provou ser de importância fundamental para muitas outras pesquisas, em particular na teoria K de fibrados vetoriais complexos estáveis, bem como os grupos de homotopia estável de esferas. A periodicidade do bot pode ser formulada de várias maneiras, com a periodicidade em questão sempre aparecendo como um fenômeno de período 2, no que diz respeito à dimensão, para a teoria associada ao grupo unitário. Veja, por exemplo, teoria K topológica.

Existem fenômenos correspondentes do período 8 para as teorias correspondentes, (real) KO-teoria e (quaterniônico) Teoria KSp, associado ao grupo ortogonal real e ao grupo simplético quaterniônico, respectivamente. O J-homomorfismo é um homomorfismo dos grupos de homotopia de grupos ortogonais para grupos de homotopia estáveis ​​de esferas, o que faz com que o período 8 A periodicidade de Bott deve ser visível nos grupos de homotopia estáveis ​​de esferas.

Conteúdo 1 Declaração de resultado 2 Contexto e significado 3 Espaços de loop e espaços de classificação 4 Modelo geométrico de espaços de loop 5 Provas 6 Notas 7 References Statement of result Bott showed that if {estilo de exibição O(infty )} é definido como o limite indutivo dos grupos ortogonais, então seus grupos de homotopia são periódicos:[1] {estilo de exibição pi _{n}(O(infty ))simeq pi _{n+8}(O(infty ))} e a primeira 8 grupos de homotopia são os seguintes: {estilo de exibição {começar{alinhado}pi_{0}(O(infty ))&simeq mathbb {Z} _{2}\pi_{1}(O(infty ))&simeq mathbb {Z} _{2}\pi_{2}(O(infty ))&simeq 0\pi _{3}(O(infty ))&simeq mathbb {Z} \pi_{4}(O(infty ))&simeq 0\pi _{5}(O(infty ))&simeq 0\pi _{6}(O(infty ))&simeq 0\pi _{7}(O(infty ))&simeq mathbb {Z} fim{alinhado}}} Context and significance The context of Bott periodicity is that the homotopy groups of spheres, que seria esperado para desempenhar o papel básico na topologia algébrica por analogia com a teoria da homologia, provaram ser indescritíveis (e a teoria é complicada). O tema da teoria da homotopia estável foi concebido como uma simplificação, introduzindo a suspensão (esmagar o produto com um círculo) Operação, e vendo o que (a grosso modo) permaneceu da teoria da homotopia, uma vez que se permitia suspender ambos os lados de uma equação, quantas vezes quiser. A teoria estável ainda era difícil de calcular com, na prática.

O que a periodicidade de Bott oferecia era uma visão de alguns espaços altamente não triviais, com status central na topologia por causa da conexão de sua cohomologia com classes características, para o qual todos os (instável) grupos de homotopia podem ser calculados. Esses espaços são os (infinito, ou estável) unitário, grupos ortogonais e simpléticos U, O and Sp. Nesse contexto, estável refere-se a tomar a união U (também conhecido como limite direto) da sequência de inclusões {estilo de exibição U(1)subconjunto U(2)subconjunto cdots subconjunto U=bigcup _{k=1}^{infty }você(k)} and similarly for O and Sp. Observe que o uso da palavra estável por Bott no título de seu artigo seminal refere-se a esses grupos clássicos estáveis ​​e não a grupos estáveis ​​de homotopia.

A importante conexão da periodicidade de Bott com os grupos de homotopia estável de esferas {estilo de exibição pi _{n}^{S}} vem através do chamado homomorfismo J estável do (instável) grupos de homotopia do (estábulo) grupos clássicos para esses grupos de homotopia estáveis {estilo de exibição pi _{n}^{S}} . Originalmente descrito por George W. Whitehead, tornou-se o assunto da famosa conjectura de Adams (1963) que foi finalmente resolvido de forma afirmativa por Daniel Quillen (1971).

Os resultados originais de Bott podem ser sucintamente resumidos em: Corolário: o (instável) grupos de homotopia do (infinito) grupos clássicos são periódicos: {estilo de exibição {começar{alinhado}pi_{k}(você)&=pi _{k+2}(você)\pi_{k}(O)&=pi _{k+4}(nome do operador {Sp} )\pi_{k}(nome do operador {Sp} )&=pi _{k+4}(O)&&k=0,1,ldots end{alinhado}}} Observação: O segundo e o terceiro desses isomorfismos se entrelaçam para fornecer os resultados de periodicidade de 8 vezes: {estilo de exibição {começar{alinhado}pi_{k}(O)&=pi _{k+8}(O)\pi_{k}(nome do operador {Sp} )&=pi _{k+8}(nome do operador {Sp} ),&&k=0,1,ldots end{alinhado}}} Loop spaces and classifying spaces For the theory associated to the infinite unitary group, você, o espaço BU é o espaço de classificação para fibrados vetoriais complexos estáveis (um Grassmanniano em dimensões infinitas). Uma formulação da periodicidade de Bott descreve o espaço de loop duplo, {estilo de exibição Ômega ^{2}ISTO} de TI. Aqui, {estilo de exibição Omega } é o funtor de espaço de loop, adjunto direito à suspensão e adjunto esquerdo à construção do espaço classificatório. A periodicidade de Bott afirma que esse espaço de loop duplo é essencialmente BU novamente; mais precisamente, {estilo de exibição Ômega ^{2}BUsimeq mathbb {Z} vezes BU} é essencialmente (isso é, homotopia equivalente a) a união de um número contável de exemplares da BU. Uma formulação equivalente é {estilo de exibição Ômega ^{2}Usimeq U.} Qualquer um destes tem o efeito imediato de mostrar por que (complexo) A teoria K topológica é uma teoria periódica 2 vezes.

Na teoria correspondente para o grupo ortogonal infinito, O, o espaço BO é o espaço de classificação para fibrados vetoriais reais estáveis. Nesse caso, A periodicidade de Bott indica que, para o espaço de loop de 8 dobras, {estilo de exibição Ômega ^{8}BOsimeq mathbb {Z} vezes BO;} ou equivalente, {estilo de exibição Ômega ^{8}Osimeq O,} o que produz a consequência de que a teoria KO é uma teoria periódica 8 vezes. Também, para o grupo simplético infinito, Sp, o espaço BSp é o espaço de classificação para fibrados vetoriais quaterniônicos estáveis, e a periodicidade de Bott afirma que {estilo de exibição Ômega ^{8}nome do operador {BSp} simeq mathbb {Z} vezes nome do operador {BSp} ;} ou equivalente {estilo de exibição Ômega ^{8}nome do operador {Sp} nome do operador simeq {Sp} .} Assim, tanto a teoria K real topológica (também conhecido como teoria KO) e teoria K quaterniônica topológica (também conhecida como teoria KSp) são teorias periódicas de 8 vezes.

Geometric model of loop spaces One elegant formulation of Bott periodicity makes use of the observation that there are natural embeddings (como subgrupos fechados) entre os grupos clássicos. Os espaços de loop na periodicidade de Bott são então homotopia equivalente aos espaços simétricos de quocientes sucessivos, com fatores discretos adicionais de Z.

Sobre os números complexos: {displaystyle Utimes Usubset Usubset Utimes U.} Sobre os números reais e quatérnios: {estilo de exibição Otimes Osubset Osubset Usubset operatorname {Sp} nome do operador do subconjunto {Sp} vezes nome do operador {Sp} nome do operador do subconjunto {Sp} subconjunto Usubconjunto Osubconjunto Otimes O.} Estas sequências correspondem a sequências em álgebras de Clifford – veja classificação de álgebras de Clifford; sobre os números complexos: {estilo de exibição mathbb {C} oplus mathbb {C} subconjunto mathbb {C} subconjunto mathbb {C} oplus mathbb {C} .} Sobre os números reais e quatérnios: {estilo de exibição mathbb {R} oplus mathbb {R} subconjunto mathbb {R} subconjunto mathbb {C} subconjunto mathbb {H} subconjunto mathbb {H} oplus mathbb {H} subconjunto mathbb {H} subconjunto mathbb {C} subconjunto mathbb {R} subconjunto mathbb {R} oplus mathbb {R} ,} onde as álgebras de divisão indicam "matrizes sobre essa álgebra".

Como eles são 2-periódicos/8-periódicos, eles podem ser dispostos em um círculo, onde eles são chamados de relógio de periodicidade de Bott e relógio de álgebra de Clifford.

Os resultados da periodicidade de Bott são refinados para uma sequência de equivalências de homotopia: Para a teoria K complexa: {estilo de exibição {começar{alinhado}Omega U&simeq mathbb {Z} vezes BU = mathbb {Z} vezes U/(Utimes U)\Ómega (mathbb {Z} vezes BU)&simeq U=(Utimes U)/Fim{alinhado}}} Para KO real e quaterniônico- e teorias KSp: {estilo de exibição {começar{alinhado}Ómega (mathbb {Z} vezes BO)&simeq O=(Às vezes O)/O&Omega (mathbb {Z} vezes nome do operador {BSp} )&simeq operatorname {Sp} =(nome do operador {Sp} vezes nome do operador {Sp} )/nome do operador {Sp} \Omega O&simeq O/U&Omega operatorname {Sp} &simeq operatorname {Sp} /UOmega (O/U)&simeq U/operatorname {Sp} &Omega (nome do operador {Sp} /você)&simeq U/O\Omega (U/nome do operador {Sp} )&simeq mathbb {Z} vezes nome do operador {BSp} = mathbb {Z} vezes nome do operador {Sp} /(nome do operador {Sp} vezes nome do operador {Sp} )&Omega (EM CERCA DE)&simeq mathbb {Z} vezes BO = mathbb {Z} vezes O/(Às vezes O)fim{alinhado}}} Os espaços resultantes são homotopia equivalente aos espaços simétricos redutivos clássicos, e são os quocientes sucessivos dos termos do relógio de periodicidade de Bott. Essas equivalências produzem imediatamente os teoremas da periodicidade de Bott.

Os espaços específicos são,[Nota 1] (para grupos, o principal espaço homogêneo também é listado): Loop space Quotient Cartan's label Description {estilo de exibição Ômega ^{0}} {estilo de exibição mathbb {Z} vezes O/(Às vezes O)} BDI Real Grassmannian {estilo de exibição Ômega ^{1}} {estilo de exibição O=(Às vezes O)/O} Grupo ortogonal (coletor Stiefel real) {estilo de exibição Ômega ^{2}} {estilo de exibição O/U} DIII space of complex structures compatible with a given orthogonal structure {estilo de exibição Ômega ^{3}} {estilo de exibição U/mathrm {Sp} } AII space of quaternionic structures compatible with a given complex structure {estilo de exibição Ômega ^{4}} {estilo de exibição mathbb {Z} vezes matemática {Sp} /(matemática {Sp} vezes matemática {Sp} )} CII Quaternionic Grassmannian {estilo de exibição Ômega ^{5}} {matemática de estilo de exibição {Sp} =(matemática {Sp} vezes matemática {Sp} )/matemática {Sp} } Grupo simples (Coletor de Stiefel quaterniônico) {estilo de exibição Ômega ^{6}} {matemática de estilo de exibição {Sp} /você} CI complex Lagrangian Grassmannian {estilo de exibição Ômega ^{7}} {estilo de exibição U/O} AI Lagrangian Grassmannian Proofs Bott's original proof (Bott 1959) teoria de Morse usada, qual Bott (1956) havia usado anteriormente para estudar a homologia de grupos de Lie. Muitas provas diferentes foram dadas.

Notas ^ A interpretação e a rotulagem estão um pouco incorretas, e se refere a espaços simétricos irredutíveis, enquanto estes são os espaços redutivos mais gerais. Por exemplo, SU/Sp é irredutível, enquanto U/Sp é redutivo. Como estes mostram, a diferença pode ser interpretada como se alguém inclui ou não orientação. Referências ^ "Introdução". Bott, Raul (1956), "Uma aplicação da teoria de Morse à topologia de grupos de Lie", Boletim da Sociedade de Matemática da França, 84: 251-281, doi:10.24033/bsmf.1472, ISSN 0037-9484, SENHOR 0087035 Bott, Raul (1957), "A homotopia estável dos grupos clássicos", Anais da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos da América, 43 (10): 933-5, Bibcode:1957PNAS...43..933B, doi:10.1073/pnas.43.10.933, JSTOR 89403, SENHOR 0102802, PMC 528555, PMID 16590113 Bott, Raul (1959), "A homotopia estável dos grupos clássicos", Anais da Matemática, Segunda Série, 70 (2): 313-337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, SENHOR 0110104, PMC 528555, PMID 16590113 Bott, Raul (1970), "O teorema da periodicidade para os grupos clássicos e algumas de suas aplicações", Avanços em Matemática, 4 (3): 353-411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Um relato expositivo do teorema e da matemática que o cerca. Giffen, CH. (1996), "A periodicidade de Bott e a construção Q", em Banaszak, Gregório; Gajda, Wojciech; Krason, Piotr (ed.), Teoria K Algébrica, Matemática Contemporânea, volume. 199, Sociedade Americana de Matemática, pp. 107-124, ISBN 978-0-8218-0511-4, SENHOR 1409620 Milnor, J. (1969). Teoria de Morse. Imprensa da Universidade de Princeton. ISBN 0-691-08008-9. Baez, John (21 Junho 1997). "Semana 105". As descobertas desta semana em física matemática. Categorias: Topologia de grupos de LieTeoremas na teoria da homotopia