Teorema della periodicità di Bott

Teorema della periodicità di Bott In matematica, il teorema della periodicità di Bott descrive una periodicità nei gruppi di omotopia dei gruppi classici, scoperto da Raoul Bott (1957, 1959), che si è rivelato di importanza fondamentale per molte ulteriori ricerche, in particolare nella teoria K dei fasci di vettori complessi stabili, così come i gruppi di sfere di omotopia stabile. La periodicità di Bott può essere formulata in numerosi modi, con la periodicità in questione che appare sempre come un fenomeno di periodo-2, rispetto alla dimensione, per la teoria associata al gruppo unitario. Vedi ad esempio la teoria K topologica.

Esistono corrispondenti fenomeni del periodo 8 per le teorie di corrispondenza, (vero) KO-teoria e (quaternionico) KSp-teoria, associati al gruppo ortogonale reale e al gruppo simplettico quaternionico, rispettivamente. L'omomorfismo J è un omomorfismo dai gruppi di omotopia di gruppi ortogonali a gruppi di omotopia stabili di sfere, che causa il periodo 8 La periodicità di Bott deve essere visibile nei gruppi di sfere di omotopia stabile.

Contenuti 1 Dichiarazione di risultato 2 Contesto e significato 3 Spazi ad anello e spazi di classificazione 4 Modello geometrico degli spazi ad anello 5 Prove 6 Appunti 7 Riferimenti Dichiarazione di risultato Bott ha mostrato che se {stile di visualizzazione O(infty )} è definito come il limite induttivo dei gruppi ortogonali, quindi i suoi gruppi di omotopia sono periodici:[1] {stile di visualizzazione pi _{n}(o(infty ))simeq pi _{n+8}(o(infty ))} e il primo 8 i gruppi di omotopia sono i seguenti: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}pi_{0}(o(infty ))&simeq mathbb {Z} _{2}\pi_{1}(o(infty ))&simeq mathbb {Z} _{2}\pi_{2}(o(infty ))&simeq 0\pi _{3}(o(infty ))&simeq mathbb {Z} \pi_{4}(o(infty ))&simeq 0\pi _{5}(o(infty ))&simeq 0\pi _{6}(o(infty ))&simeq 0\pi _{7}(o(infty ))&simeq mathbb {Z} fine{allineato}}} Contesto e significato Il contesto della periodicità di Bott è quello dei gruppi di omotopia delle sfere, che dovrebbe svolgere un ruolo fondamentale nella topologia algebrica per analogia con la teoria dell'omologia, si sono rivelati sfuggenti (e la teoria è complicata). L'argomento della teoria dell'omotopia stabile è stato concepito come una semplificazione, introducendo la sospensione (distruggere il prodotto con un cerchio) operazione, e vedere cosa (grosso modo) rimaneva della teoria dell'omotopia una volta che si poteva sospendere entrambi i lati di un'equazione, tutte le volte che si desidera. La teoria stabile era ancora difficile da calcolare, in pratica.

Ciò che la periodicità di Bott offriva era uno spaccato di alcuni spazi altamente non banali, con status centrale nella topologia a causa della connessione della loro coomologia con classi caratteristiche, per cui tutto il (instabile) potrebbero essere calcolati i gruppi di omotopia. Questi spazi sono i (infinito, o stabile) unitario, gruppi ortogonali e simplettici U, O e sp. In tale contesto, stabile si riferisce alla presa del sindacato U (noto anche come limite diretto) della sequenza delle inclusioni {stile di visualizzazione U(1)sottoinsieme U(2)sottoinsieme cdots sottoinsieme U=bigcup _{k=1}^{infty }u(K)} e analogamente per O e Sp. Si noti che l'uso da parte di Bott della parola stabile nel titolo del suo articolo seminale si riferisce a questi gruppi classici stabili e non a gruppi di omotopia stabili.

L'importante connessione della periodicità di Bott con i gruppi di sfere di omotopia stabile {stile di visualizzazione pi _{n}^{S}} arriva tramite il cosiddetto J-omomorfismo stabile dal (instabile) gruppi di omotopia del (stabile) gruppi classici a questi gruppi di omotopia stabile {stile di visualizzazione pi _{n}^{S}} . Originariamente descritto da George W. Testa bianca, divenne oggetto della famosa congettura di Adams (1963) che è stato infine risolto affermativamente da Daniel Quillen (1971).

I risultati originali di Bott possono essere sinteticamente riassunti in: Corollario: Il (instabile) gruppi di omotopia del (infinito) i gruppi classici sono periodici: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}pi_{K}(u)&=pi _{k+2}(u)\pi_{K}(o)&=pi _{k+4}(nome operatore {sp} )\pi_{K}(nome operatore {sp} )&=pi _{k+4}(o)&&k=0,1,ldots end{allineato}}} Nota: Il secondo e il terzo di questi isomorfismi si intrecciano per dare risultati di periodicità 8 volte: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}pi_{K}(o)&=pi _{k+8}(o)\pi_{K}(nome operatore {sp} )&=pi _{k+8}(nome operatore {sp} ),&&k=0,1,ldots end{allineato}}} Spazi di loop e spazi di classificazione Per la teoria associata al gruppo unitario infinito, u, lo spazio BU è lo spazio di classificazione per i bundle di vettori complessi stabili (un Grassmannano in infinite dimensioni). Una formulazione della periodicità di Bott descrive il doppio spazio del ciclo, {stile di visualizzazione Omega ^{2}QUESTO} di IT. Qui, {stile di visualizzazione Omega } è il funtore dello spazio del ciclo, a destra adiacente alla sospensione e a sinistra adiacente alla costruzione dello spazio di classificazione. La periodicità di Bott afferma che questo spazio a doppio ciclo è essenzialmente di nuovo BU; più precisamente, {stile di visualizzazione Omega ^{2}BUsimeq mathbb {Z} volte BU} è essenzialmente (questo è, omotopia equivalente a) l'unione di un numero numerabile di copie di BU. Una formulazione equivalente è {stile di visualizzazione Omega ^{2}Usimeq U.} Ognuno di questi ha l'effetto immediato di mostrare il perché (complesso) La teoria K topologica è una teoria periodica 2 volte.

Nella corrispondente teoria per il gruppo ortogonale infinito, o, lo spazio BO è lo spazio di classificazione per i bundle di vettori reali stabili. In questo caso, La periodicità di Bott lo afferma, per lo spazio del ciclo di 8 volte, {stile di visualizzazione Omega ^{8}BOsimeq mathbb {Z} volte BO;} o in modo equivalente, {stile di visualizzazione Omega ^{8}Osimeq O,} il che produce la conseguenza che la teoria KO è una teoria periodica di 8 volte. Anche, per il gruppo infinito simplettico, sp, lo spazio BSp è lo spazio di classificazione per i fasci vettoriali quaternionici stabili, e la periodicità di Bott lo afferma {stile di visualizzazione Omega ^{8}nome operatore {BSp} simeq mathbb {Z} volte nomeoperatore {BSp} ;} o in modo equivalente {stile di visualizzazione Omega ^{8}nome operatore {sp} nome operatore simeq {sp} .} Quindi sia la teoria K reale topologica (noto anche come teoria KO) e teoria K quaternionica topologica (noto anche come KSp-teoria) sono teorie periodiche di 8 volte.

Modello geometrico degli spazi ad anello Un'elegante formulazione della periodicità di Bott fa uso dell'osservazione che ci sono annegamenti naturali (come sottogruppi chiusi) tra i gruppi classici. Gli spazi di ciclo nella periodicità di Bott sono quindi omotopia equivalenti agli spazi simmetrici di quozienti successivi, con ulteriori fattori discreti di Z.

Oltre i numeri complessi: {displaystyle Utimes Usubset Usubset Utimes U.} Sui numeri reali e sui quaternioni: {displaystyle Otimes Osubset Osubset Usubset nome operatore {sp} nome operatore sottoinsieme {sp} volte nomeoperatore {sp} nome operatore sottoinsieme {sp} sottoinsieme Usottoinsieme Osottoinsieme Otimes O.} Queste sequenze corrispondono alle sequenze nelle algebre di Clifford - vedere la classificazione delle algebre di Clifford; sui numeri complessi: {displaystyle mathbb {C} oplus mathbb {C} sottoinsieme mathbb {C} sottoinsieme mathbb {C} oplus mathbb {C} .} Sui numeri reali e sui quaternioni: {displaystyle mathbb {R} oplus mathbb {R} sottoinsieme mathbb {R} sottoinsieme mathbb {C} sottoinsieme mathbb {H} sottoinsieme mathbb {H} oplus mathbb {H} sottoinsieme mathbb {H} sottoinsieme mathbb {C} sottoinsieme mathbb {R} sottoinsieme mathbb {R} oplus mathbb {R} ,} dove indicano le algebre di divisione "matrici su quell'algebra".

Poiché sono 2-periodici/8-periodici, possono essere disposti in cerchio, dove sono chiamati l'orologio di periodicità di Bott e l'orologio di algebra di Clifford.

I risultati della periodicità di Bott vengono quindi perfezionati in una sequenza di equivalenze di omotopia: Per la teoria K complessa: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}Omega U&simeq mathbb {Z} volte BU=matematicabb {Z} volte U/(Utimes U)\Omega (mathbb {Z} volte BU)&simeq U=(Utimes U)/Uend{allineato}}} Per KO reale e quaternionico- e teorie KSp: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}Omega (mathbb {Z} volte BO)&simeq O=(Otimes O)/O&Omega (mathbb {Z} volte nomeoperatore {BSp} )&simeq operatorname {sp} =(nome operatore {sp} volte nomeoperatore {sp} )/nome operatore {sp} \Omega O&simeq O/U&Omega operatorname {sp} &simeq operatorname {sp} /UOmega (O/U)&simeq U/operatorname {sp} &Omega (nome operatore {sp} /u)&simeq U/O\Omega (U/nome operatore {sp} )&simeq mathbb {Z} volte nomeoperatore {BSp} = matematica bb {Z} volte nomeoperatore {sp} /(nome operatore {sp} volte nomeoperatore {sp} )&Omega (IN CIRCA)&simeq mathbb {Z} volte BO=matematicabb {Z} volte O/(Otimes O)fine{allineato}}} Gli spazi risultanti sono l'omotopia equivalente ai classici spazi simmetrici riduttivi, e sono i quozienti successivi dei termini dell'orologio di periodicità di Bott. Queste equivalenze producono immediatamente i teoremi di periodicità di Bott.

Gli spazi specifici sono,[Nota 1] (per gruppi, viene elencato anche lo spazio omogeneo principale): Loop space Quoziente Etichetta di Cartan Descrizione {stile di visualizzazione Omega ^{0}} {displaystyle mathbb {Z} volte O/(Otimes O)} BDI Real Grassmanniano {stile di visualizzazione Omega ^{1}} {stile di visualizzazione O=(Otimes O)/o} Gruppo ortogonale (vero collettore Stiefel) {stile di visualizzazione Omega ^{2}} {stile di visualizzazione O/U} DIII spazio di strutture complesse compatibile con una data struttura ortogonale {stile di visualizzazione Omega ^{3}} {displaystyle U/Mathrm {sp} } AII spazio di strutture quaternioniche compatibili con una data struttura complessa {stile di visualizzazione Omega ^{4}} {displaystyle mathbb {Z} volte matematica {sp} /(matematica {sp} volte matematica {sp} )} CII Grassmanniano quaternionico {stile di visualizzazione Omega ^{5}} {displaystyle matematica {sp} =(matematica {sp} volte matematica {sp} )/matematica {sp} } Gruppo simplettico (varietà quaternionica di Stiefel) {stile di visualizzazione Omega ^{6}} {displaystyle matematica {sp} /u} CI complessa Lagrangiana Grassmanniana {stile di visualizzazione Omega ^{7}} {stile di visualizzazione U/O} AI Lagrangiana Grassmanniana Dimostrazioni Dimostrazione originale di Bott (Bott 1959) usato la teoria Morse, quale Bott (1956) aveva usato in precedenza per studiare l'omologia dei gruppi di Lie. Sono state fornite molte prove diverse.

Note ^ L'interpretazione e l'etichettatura sono leggermente errate, e si riferisce a spazi simmetrici irriducibili, mentre questi sono gli spazi riduttivi più generali. Per esempio, SU/Sp è irriducibile, mentre U/Sp è riduttivo. Come mostrano questi, la differenza può essere interpretata come se si includa o meno l'orientamento. Riferimenti ^ "introduzione". Bott, Raoul (1956), "Un'applicazione della teoria Morse alla topologia dei gruppi di Lie", Bollettino della Società Matematica di Francia, 84: 251–281, doi:10.24033/bsmf.1472, ISSN 0037-9484, SIG 0087035 Bott, Raoul (1957), "L'omotopia stabile dei gruppi classici", Atti della National Academy of Sciences degli Stati Uniti d'America, 43 (10): 933–5, Bibcode:1957PNAS...43..933B, doi:10.1073/pnas.43.10.933, JSTOR 89403, SIG 0102802, PMC 528555, PMID 16590113 Bott, Raoul (1959), "L'omotopia stabile dei gruppi classici", Annali di matematica, Seconda serie, 70 (2): 313–337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, SIG 0110104, PMC 528555, PMID 16590113 Bott, Raoul (1970), "Il teorema di periodicità per i gruppi classici e alcune sue applicazioni", Progressi in matematica, 4 (3): 353–411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Un resoconto espositivo del teorema e della matematica che lo circonda. Giffen, C.H. (1996), "Periodicità di Bott e costruzione Q", a Banaszak, Gregorio; Gajda, Wojciech; Krason, Piotr (eds.), Teoria K algebrica, Matematica Contemporanea, vol. 199, Società matematica americana, pp. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, SIG 1409620 Milnor, J. (1969). Teoria Morse. Stampa dell'Università di Princeton. ISBN 0-691-08008-9. Baez, John (21 Giugno 1997). "Settimana 105". I risultati di questa settimana in fisica matematica. Categorie: Topologia dei gruppi di Lie Teoremi nella teoria dell'omotopia