Théorème de périodicité de Bott

Théorème de périodicité de Bott En mathématiques, le théorème de périodicité de Bott décrit une périodicité dans les groupes d'homotopie des groupes classiques, discovered by Raoul Bott (1957, 1959), qui s'est avéré être d'une importance fondamentale pour de nombreuses recherches ultérieures, en particulier dans la K-théorie des faisceaux de vecteurs complexes stables, ainsi que les groupes d'homotopie stables des sphères. La périodicité de Bott peut être formulée de plusieurs façons, avec la périodicité en question apparaissant toujours comme un phénomène de période 2, par rapport à la dimension, pour la théorie associée au groupe unitaire. Voir par exemple la théorie topologique K.

Il existe des phénomènes de période 8 correspondants pour les théories d'appariement, (réel) KO-théorie et (quaternionique) KSp-théorie, associé au groupe orthogonal réel et au groupe symplectique quaternionique, respectivement. Le J-homomorphisme est un homomorphisme des groupes d'homotopie de groupes orthogonaux aux groupes d'homotopie stables de sphères, ce qui provoque la période 8 La périodicité de Bott doit être visible dans les groupes d'homotopie stables des sphères.

Contenu 1 Déclaration de résultat 2 Contexte et signification 3 Espaces de boucle et espaces de classification 4 Modèle géométrique des espaces de boucle 5 Preuves 6 Remarques 7 References Statement of result Bott showed that if {style d'affichage O(infime )} est défini comme la limite inductive des groupes orthogonaux, alors ses groupes d'homotopie sont périodiques:[1] {style d'affichage pi _{n}(O(infime ))simeq pi _{n+8}(O(infime ))} et le premier 8 les groupes d'homotopie sont les suivants: {style d'affichage {commencer{aligné}pi _{0}(O(infime ))&simeq mathbb {Z} _{2}\pi _{1}(O(infime ))&simeq mathbb {Z} _{2}\pi _{2}(O(infime ))&simeq 0\pi _{3}(O(infime ))&simeq mathbb {Z} \pi _{4}(O(infime ))&simeq 0\pi _{5}(O(infime ))&simeq 0\pi _{6}(O(infime ))&simeq 0\pi _{7}(O(infime ))&simeq mathbb {Z} fin{aligné}}} Context and significance The context of Bott periodicity is that the homotopy groups of spheres, qui devrait jouer le rôle fondamental dans la topologie algébrique par analogie avec la théorie de l'homologie, se sont révélés insaisissables (et la théorie est compliquée). Le sujet de la théorie de l'homotopie stable a été conçu comme une simplification, en introduisant la suspension (écraser le produit avec un cercle) opération, et voir quoi (Grosso modo) restait de la théorie de l'homotopie une fois qu'on était autorisé à suspendre les deux côtés d'une équation, autant de fois qu'on le souhaite. La théorie stable était encore difficile à calculer avec, en pratique.

Ce que la périodicité de Bott offrait était un aperçu de certains espaces hautement non triviaux, avec un statut central en topologie en raison de la connexion de leur cohomologie avec des classes caractéristiques, pour lequel tous les (instable) les groupes d'homotopie peuvent être calculés. Ces espaces sont les (infini, ou stable) unitaire, groupes orthogonaux et symplectiques U, O and Sp. Dans ce contexte, stable fait référence à la prise de l'union U (également connue sous le nom de limite directe) de la suite des inclusions {style d'affichage U(1)sous-ensemble U(2)sous-ensemble cdots sous-ensemble U=bigcup _{k=1}^{infime }tu(k)} and similarly for O and Sp. Notez que l'utilisation par Bott du mot stable dans le titre de son article fondateur fait référence à ces groupes classiques stables et non aux groupes d'homotopie stables.

La connexion importante de la périodicité de Bott avec les groupes d'homotopie stables des sphères {style d'affichage pi _{n}^{S}} vient via le soi-disant J-homomorphisme stable de la (instable) groupes d'homotopie (écurie) groupes classiques à ces groupes d'homotopie stables {style d'affichage pi _{n}^{S}} . Décrit à l'origine par George W. Tête blanche, il est devenu le sujet de la célèbre conjecture d'Adams (1963) qui a finalement été résolue par l'affirmative par Daniel Quillen (1971).

Les résultats originaux de Bott peuvent être résumés succinctement dans: Corollaire: La (instable) groupes d'homotopie (infini) les groupes classiques sont périodiques: {style d'affichage {commencer{aligné}pi _{k}(tu)&=pi _{k+2}(tu)\pi _{k}(O)&=pi _{m+4}(nom de l'opérateur {Sp} )\pi _{k}(nom de l'opérateur {Sp} )&=pi _{m+4}(O)&&k=0,1,ldots end{aligné}}} Noter: Le deuxième et le troisième de ces isomorphismes s'entrelacent pour donner les résultats de périodicité 8 fois: {style d'affichage {commencer{aligné}pi _{k}(O)&=pi _{m+8}(O)\pi _{k}(nom de l'opérateur {Sp} )&=pi _{m+8}(nom de l'opérateur {Sp} ),&&k=0,1,ldots end{aligné}}} Loop spaces and classifying spaces For the theory associated to the infinite unitary group, tu, l'espace BU est l'espace de classification des fibrés vectoriels complexes stables (un Grassmannien en dimension infinie). Une formulation de la périodicité de Bott décrit l'espace de boucle double, {style d'affichage Omega ^{2}CETTE} de l'informatique. Ici, {style d'affichage Omega } est le foncteur d'espace de boucle, adjoint à droite à la suspension et adjoint à gauche à l'espace de classement construction. La périodicité de Bott indique que cet espace à double boucle est à nouveau essentiellement BU; plus précisément, {style d'affichage Omega ^{2}BUsimeq mathbb {Z} fois BU} est essentiellement (C'est, homotopie équivalente à) l'union d'un nombre dénombrable d'exemplaires de BU. Une formulation équivalente est {style d'affichage Omega ^{2}Usimeq U.} L'un ou l'autre a pour effet immédiat de montrer pourquoi (complexe) la théorie topologique K est une théorie périodique double.

Dans la théorie correspondante pour le groupe orthogonal infini, O, l'espace BO est l'espace de classification des fibrés de vecteurs réels stables. Dans ce cas, La périodicité de Bott indique que, pour l'espace de boucle de 8 fois, {style d'affichage Omega ^{8}BOsimeq mathbb {Z} fois BO;} ou équivalent, {style d'affichage Omega ^{8}Osimeq O,} ce qui donne la conséquence que la théorie KO est une théorie périodique d'ordre 8. Aussi, pour le groupe symplectique infini, Sp, l'espace BSp est l'espace de classification des fibrés vectoriels quaternioniques stables, et la périodicité de Bott indique que {style d'affichage Omega ^{8}nom de l'opérateur {BSp} simeq mathbb {Z} fois le nom de l'opérateur {BSp} ;} ou équivalent {style d'affichage Omega ^{8}nom de l'opérateur {Sp} nom de l'opérateur simeq {Sp} .} Ainsi, à la fois la K-théorie réelle topologique (également connue sous le nom de théorie KO) et la K-théorie quaternionique topologique (également connue sous le nom de théorie KSp) sont des théories périodiques d'ordre 8.

Geometric model of loop spaces One elegant formulation of Bott periodicity makes use of the observation that there are natural embeddings (sous forme de sous-groupes fermés) entre les groupes classiques. Les espaces des boucles en périodicité de Bott sont alors homotopie équivalente aux espaces symétriques des quotients successifs, avec des facteurs discrets supplémentaires de Z.

Sur les nombres complexes: {style d'affichage Utimes Usubset Usubset Utimes U.} Sur les nombres réels et les quaternions: {style d'affichage Otimes Osubset Osubset Usubset nomopérateur {Sp} nom de l'opérateur du sous-ensemble {Sp} fois le nom de l'opérateur {Sp} nom de l'opérateur du sous-ensemble {Sp} sous-ensemble Usous-ensemble Osous-ensemble Ofois O.} Ces séquences correspondent aux séquences des algèbres de Clifford - voir la classification des algèbres de Clifford; sur les nombres complexes: {style d'affichage mathbb {C} oplus mathbb {C} sous-ensemble mathbb {C} sous-ensemble mathbb {C} oplus mathbb {C} .} Sur les nombres réels et les quaternions: {style d'affichage mathbb {R} oplus mathbb {R} sous-ensemble mathbb {R} sous-ensemble mathbb {C} sous-ensemble mathbb {H} sous-ensemble mathbb {H} oplus mathbb {H} sous-ensemble mathbb {H} sous-ensemble mathbb {C} sous-ensemble mathbb {R} sous-ensemble mathbb {R} oplus mathbb {R} ,} où les algèbres de division indiquent "matrices sur cette algèbre".

Comme ils sont 2-périodiques/8-périodiques, ils peuvent être disposés en cercle, où elles sont appelées horloge de périodicité de Bott et horloge d'algèbre de Clifford.

Les résultats de périodicité de Bott s'affinent ensuite en une séquence d'équivalences d'homotopie: Pour la théorie K complexe: {style d'affichage {commencer{aligné}Omega U&simeq mathbb {Z} fois BU=mathbb {Z} fois U/(Utimes U)\Oméga (mathbb {Z} fois BU)&simeq U=(Utimes U)/Fin{aligné}}} Pour les KO réels et quaternioniques- et théories KSp: {style d'affichage {commencer{aligné}Oméga (mathbb {Z} fois BO)&simeq O=(Parfois O)/O&Omega (mathbb {Z} fois le nom de l'opérateur {BSp} )&simeq operatorname {Sp} =(nom de l'opérateur {Sp} fois le nom de l'opérateur {Sp} )/nom de l'opérateur {Sp} \Omega O&simeq O/U&Omega operatorname {Sp} &simeq operatorname {Sp} /UOméga (O/U)&simeq U/operatorname {Sp} &Omega (nom de l'opérateur {Sp} /tu)&simeq U/O\Omega (U/nomopérateur {Sp} )&simeq mathbb {Z} fois le nom de l'opérateur {BSp} =mathbb {Z} fois le nom de l'opérateur {Sp} /(nom de l'opérateur {Sp} fois le nom de l'opérateur {Sp} )&Omega (À PROPOS)&simeq mathbb {Z} fois BO=mathbb {Z} fois O/(Parfois O)fin{aligné}}} Les espaces résultants sont des homotopies équivalentes aux espaces symétriques réducteurs classiques, et sont les quotients successifs des termes de l'horloge de périodicité de Bott. Ces équivalences donnent immédiatement les théorèmes de périodicité de Bott.

Les espaces spécifiques sont,[Remarque 1] (pour les groupes, l'espace homogène principal est également répertorié): Loop space Quotient Cartan's label Description {style d'affichage Omega ^{0}} {style d'affichage mathbb {Z} fois O/(Parfois O)} BDI Real Grassmannian {style d'affichage Omega ^{1}} {style d'affichage O=(Parfois O)/O} Groupe orthogonal (vrai collecteur Stiefel) {style d'affichage Omega ^{2}} {style d'affichage O/U} DIII space of complex structures compatible with a given orthogonal structure {style d'affichage Omega ^{3}} {style d'affichage U/mathrm {Sp} } AII space of quaternionic structures compatible with a given complex structure {style d'affichage Omega ^{4}} {style d'affichage mathbb {Z} fois mathrm {Sp} /(mathrm {Sp} fois mathrm {Sp} )} CII Quaternionic Grassmannian {style d'affichage Omega ^{5}} {style d'affichage mathrm {Sp} =(mathrm {Sp} fois mathrm {Sp} )/mathrm {Sp} } Groupe symplectique (collecteur de Stiefel quaternionique) {style d'affichage Omega ^{6}} {style d'affichage mathrm {Sp} /tu} CI complex Lagrangian Grassmannian {style d'affichage Omega ^{7}} {style d'affichage U/O} AI Lagrangian Grassmannian Proofs Bott's original proof (Botte 1959) utilisé la théorie de Morse, quel Bott (1956) avait utilisé plus tôt pour étudier l'homologie des groupes de Lie. De nombreuses preuves différentes ont été données.

Remarques ^ L'interprétation et l'étiquetage sont légèrement incorrects, et fait référence à des espaces symétriques irréductibles, alors que ce sont les espaces réducteurs plus généraux. Par exemple, SU/Sp est irréductible, alors que U/Sp est réductrice. Comme ceux-ci le montrent, la différence peut être interprétée comme si on inclut ou non l'orientation. Références ^ "Introduction". Botte, Raoul (1956), "Une application de la théorie de Morse à la topologie des groupes de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France, 84: 251–281, est ce que je:10.24033/bsmf.1472, ISSN 0037-9484, M 0087035 Botte, Raoul (1957), "L'homotopie stable des groupes classiques", Actes de l'Académie nationale des sciences des États-Unis d'Amérique, 43 (10): 933–5, Code bib:1957PNAS...43..933B, est ce que je:10.1073/pnas.43.10.933, JSTOR 89403, M 0102802, PMC 528555, PMID 16590113 Botte, Raoul (1959), "L'homotopie stable des groupes classiques", Annales de Mathématiques, Deuxième série, 70 (2): 313–337, est ce que je:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, M 0110104, PMC 528555, PMID 16590113 Botte, Raoul (1970), "Le théorème de périodicité pour les groupes classiques et quelques-unes de ses applications", Avancées en mathématiques, 4 (3): 353–411, est ce que je:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Un récit explicatif du théorème et des mathématiques qui l'entourent. Giffen, CH. (1996), "Périodicité de Bott et Q-construction", à Banaszak, Grégory; Gajda, Wojciech; Krason, Piotr (éd.), K-théorie algébrique, Mathématiques contemporaines, volume. 199, Société mathématique américaine, pp. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, M 1409620 Milnor, J. (1969). Théorie de Morse. Presse de l'Université de Princeton. ISBN 0-691-08008-9. Baez, John (21 Juin 1997). "La semaine 105". Les découvertes de la semaine en physique mathématique. Catégories: Topologie des groupes de LieThéorèmes en théorie de l'homotopie