Periodizitätssatz von Bott

Periodizitätssatz von Bott In der Mathematik, der Periodizitätssatz von Bott beschreibt eine Periodizität in den Homotopiegruppen klassischer Gruppen, discovered by Raoul Bott (1957, 1959), die sich als von grundlegender Bedeutung für viele weitere Forschungen erwiesen, insbesondere in der K-Theorie stabiler komplexer Vektorbündel, sowie die stabilen Homotopiegruppen von Sphären. Die Bott-Periodizität kann auf vielfältige Weise formuliert werden, wobei die fragliche Periodizität immer als Periode-2-Phänomen auftritt, in Bezug auf die Dimension, für die der Einheitsgruppe zugeordnete Theorie. Siehe zum Beispiel topologische K-Theorie.

Für die Matching-Theorien gibt es entsprechende Periode-8-Phänomene, (real) KO-Theorie u (quaternionisch) KSp-Theorie, der reellen orthogonalen Gruppe und der quaternionischen symplektischen Gruppe zugeordnet, beziehungsweise. Der J-Homomorphismus ist ein Homomorphismus von den Homotopiegruppen orthogonaler Gruppen zu stabilen Homotopiegruppen von Kugeln, was die Periode verursacht 8 Bott-Periodizität, die in den stabilen Homotopiegruppen von Sphären sichtbar ist.

Inhalt 1 Ergebnisaussage 2 Kontext und Bedeutung 3 Schleifenräume und Klassifikationsräume 4 Geometrisches Modell von Schleifenräumen 5 Beweise 6 Anmerkungen 7 References Statement of result Bott showed that if {Anzeigestil O(unendlich )} ist als induktiver Grenzwert der orthogonalen Gruppen definiert, dann sind seine Homotopiegruppen periodisch:[1] {Anzeigestil pi _{n}(Ö(unendlich ))simeq pi _{n+8}(Ö(unendlich ))} und die erste 8 Homotopiegruppen sind wie folgt: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Pi _{0}(Ö(unendlich ))&simeq mathbb {Z} _{2}\Pi _{1}(Ö(unendlich ))&simeq mathbb {Z} _{2}\Pi _{2}(Ö(unendlich ))&simeq 0\pi _{3}(Ö(unendlich ))&simeq mathbb {Z} \Pi _{4}(Ö(unendlich ))&simeq 0\pi _{5}(Ö(unendlich ))&simeq 0\pi _{6}(Ö(unendlich ))&simeq 0\pi _{7}(Ö(unendlich ))&simeq mathbb {Z} Ende{ausgerichtet}}} Context and significance The context of Bott periodicity is that the homotopy groups of spheres, von denen erwartet wird, dass sie in Analogie zur Homologietheorie die grundlegende Rolle in der algebraischen Topologie spielen, haben sich als schwer fassbar erwiesen (und die Theorie ist kompliziert). Das Thema der stabilen Homotopietheorie wurde als Vereinfachung konzipiert, durch Einführung der Suspension (Produkt mit einem Kreis zerschlagen) Betrieb, und was sehen (grob gesprochen) blieb von der Homotopietheorie übrig, sobald man beide Seiten einer Gleichung aufheben durfte, so oft man wollte. Die stabile Theorie war immer noch schwer zu berechnen, in der Praxis.

Was Botts Periodizität bot, war ein Einblick in einige höchst nicht triviale Räume, mit zentraler Stellung in der Topologie wegen der Verbindung ihrer Kohomologie mit charakteristischen Klassen, für die alle (instabil) Homotopiegruppen berechnet werden. Diese Räume sind die (unendlich, oder stabil) einheitlich, orthogonale und symplektische Gruppen U, O and Sp. In diesem Zusammenhang, Stable bezieht sich auf die Einnahme der Vereinigung U (auch direktes Limit genannt) der Reihenfolge der Einschlüsse {Anzeigestil U(1)Teilmenge u(2)Teilmenge cdots Teilmenge U=bigcup _{k=1}^{unendlich }U(k)} and similarly for O and Sp. Beachten Sie, dass sich Botts Verwendung des Wortes stabil im Titel seiner bahnbrechenden Arbeit auf diese stabilen klassischen Gruppen und nicht auf stabile Homotopiegruppen bezieht.

Die wichtige Verbindung der Bott-Periodizität mit den stabilen Homotopiegruppen von Sphären {Anzeigestil pi _{n}^{S}} kommt über den sogenannten stabilen J-Homomorphismus aus der (instabil) Homotopiegruppen der (stabil) klassischen Gruppen zu diesen stabilen Homotopiegruppen {Anzeigestil pi _{n}^{S}} . Ursprünglich beschrieben von George W. Weißkopf, es wurde zum Gegenstand der berühmten Adams-Vermutung (1963) die schließlich von Daniel Quillen bejaht wurde (1971).

Botts ursprüngliche Ergebnisse lassen sich kurz zusammenfassen in: Logische Folge: Das (instabil) Homotopiegruppen der (unendlich) klassische Gruppen sind periodisch: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Pi _{k}(U)&=pi _{k+2}(U)\Pi _{k}(Ö)&=pi _{k+4}(Name des Bedieners {Sp} )\Pi _{k}(Name des Bedieners {Sp} )&=pi _{k+4}(Ö)&&k=0,1,ldots end{ausgerichtet}}} Notiz: Der zweite und dritte dieser Isomorphismen verflechten sich, um die Ergebnisse der 8-fachen Periodizität zu ergeben: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Pi _{k}(Ö)&=pi _{k+8}(Ö)\Pi _{k}(Name des Bedieners {Sp} )&=pi _{k+8}(Name des Bedieners {Sp} ),&&k=0,1,ldots end{ausgerichtet}}} Loop spaces and classifying spaces For the theory associated to the infinite unitary group, U, der Raum BU ist der Klassifikationsraum für stabile komplexe Vektorbündel (ein Grassmannian in unendlichen Dimensionen). Eine Formulierung der Bott-Periodizität beschreibt den zweifachen Schleifenraum, {Anzeigestil Omega ^{2}DIES} davon. Hier, {Anzeigestil Omega } ist der Loop-Space-Funktor, rechts angrenzend an die Aufhängung und links angrenzend an die klassifizierende Raumkonstruktion. Die Bott-Periodizität besagt, dass dieser Doppelschleifenraum im Wesentlichen wieder BU ist; etwas präziser, {Anzeigestil Omega ^{2}BUsimeq mathbb {Z} mal BU} Ist im Wesentlichen (das ist, Homotopie äquivalent zu) die Vereinigung einer zählbaren Anzahl von Kopien von BU. Eine äquivalente Formulierung ist {Anzeigestil Omega ^{2}Usimeq U.} Beides hat den unmittelbaren Effekt, zu zeigen, warum (Komplex) Die topologische K-Theorie ist eine zweifach periodische Theorie.

In der entsprechenden Theorie für die unendliche orthogonale Gruppe, Ö, der Raum BO ist der Klassifikationsraum für stabile reelle Vektorbündel. In diesem Fall, Die Bott-Periodizität sagt das aus, für den 8-fachen Schleifenplatz, {Anzeigestil Omega ^{8}BOsimeq mathbb {Z} mal BO;} oder gleichwertig, {Anzeigestil Omega ^{8}Osimeq O,} woraus folgt, dass die KO-Theorie eine 8-fach periodische Theorie ist. Ebenfalls, für die unendliche symplektische Gruppe, Sp, der Raum BSp ist der Klassifikationsraum für stabile quaternionische Vektorbündel, und die Bott-Periodizität besagt dies {Anzeigestil Omega ^{8}Name des Bedieners {BSp} simeq mathbb {Z} mal Betreibername {BSp} ;} oder gleichwertig {Anzeigestil Omega ^{8}Name des Bedieners {Sp} simeq-Operatorname {Sp} .} Also beide topologische echte K-Theorie (auch bekannt als KO-Theorie) und topologische quaternionische K-Theorie (auch bekannt als KSp-Theorie) sind 8-fach periodische Theorien.

Geometric model of loop spaces One elegant formulation of Bott periodicity makes use of the observation that there are natural embeddings (als geschlossene Untergruppen) zwischen den klassischen Gruppen. Die Schleifenräume in Bott-Periodizität sind dann homotopieäquivalent zu den symmetrischen Räumen aufeinanderfolgender Quotienten, mit zusätzlichen diskreten Faktoren von Z.

Über die komplexen Zahlen: {displaystyle Utimes Usubset Usubset Utimes U.} Über die reellen Zahlen und Quaternionen: {displaystyle Otimes Osubset Osubset Usubset Operatorname {Sp} Teilmengenoperatorname {Sp} mal Betreibername {Sp} Teilmengenoperatorname {Sp} Teilmenge UTeilmenge OTeilmenge OZeiten O.} Diese Folgen entsprechen Folgen in Clifford-Algebren – siehe Klassifikation von Clifford-Algebren; über den komplexen Zahlen: {Anzeigestil mathbb {C} opus mathbb {C} Teilmenge mathbb {C} Teilmenge mathbb {C} opus mathbb {C} .} Über die reellen Zahlen und Quaternionen: {Anzeigestil mathbb {R} opus mathbb {R} Teilmenge mathbb {R} Teilmenge mathbb {C} Teilmenge mathbb {H} Teilmenge mathbb {H} opus mathbb {H} Teilmenge mathbb {H} Teilmenge mathbb {C} Teilmenge mathbb {R} Teilmenge mathbb {R} opus mathbb {R} ,} wo die Teilungsalgebren angeben "Matrizen über dieser Algebra".

Da sie 2-periodisch/8-periodisch sind, sie können kreisförmig angeordnet werden, wo sie die Bott-Periodizitätsuhr und die Clifford-Algebra-Uhr genannt werden.

Die Ergebnisse der Bott-Periodizität werden dann zu einer Folge von Homotopieäquivalenzen verfeinert: Für komplexe K-Theorie: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Omega U&simeq mathbb {Z} mal BU=mathbb {Z} mal U/(Utimes U)\Omega (mathbb {Z} mal BU)&simeq U=(Utimes U)/Uend{ausgerichtet}}} Für reelles und quaternionisches KO- und KSp-Theorien: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Omega (mathbb {Z} mal BO)&simeq O=(Otimes O)/O&Omega (mathbb {Z} mal Betreibername {BSp} )&simeq operatorname {Sp} =(Name des Bedieners {Sp} mal Betreibername {Sp} )/Name des Bedieners {Sp} \Omega O&simeq O/U&Omega operatorname {Sp} &simeq operatorname {Sp} /UOmega (O/U)&simeq U/operatorname {Sp} &Omega (Name des Bedieners {Sp} /U)&simeq U/O\Omega (U/Betreibername {Sp} )&simeq mathbb {Z} mal Betreibername {BSp} =mathbb {Z} mal Betreibername {Sp} /(Name des Bedieners {Sp} mal Betreibername {Sp} )&Omega (IN UNGEFÄHR)&simeq mathbb {Z} mal BO=mathbb {Z} mal O/(Otimes O)Ende{ausgerichtet}}} Die resultierenden Räume sind homotopieäquivalent zu den klassischen reduktiven symmetrischen Räumen, und sind die aufeinanderfolgenden Quotienten der Terme der Bott-Periodizitätsuhr. Diese Äquivalenzen liefern sofort die Periodizitätssätze von Bott.

Die spezifischen Räume sind,[Hinweis 1] (für Gruppen, Der homogene Hauptraum ist ebenfalls aufgeführt): Loop space Quotient Cartan's label Description {Anzeigestil Omega ^{0}} {Anzeigestil mathbb {Z} mal O/(Otimes O)} BDI Real Grassmannian {Anzeigestil Omega ^{1}} {Anzeigestil O=(Otimes O)/Ö} Orthogonale Gruppe (echter Stiefel-Verteiler) {Anzeigestil Omega ^{2}} {Anzeigestil O/U} DIII space of complex structures compatible with a given orthogonal structure {Anzeigestil Omega ^{3}} {Anzeigestil U/mathrm {Sp} } AII space of quaternionic structures compatible with a given complex structure {Anzeigestil Omega ^{4}} {Anzeigestil mathbb {Z} mal mathrm {Sp} /(Mathrm {Sp} mal mathrm {Sp} )} CII Quaternionic Grassmannian {Anzeigestil Omega ^{5}} {Anzeigestil mathrm {Sp} =(Mathrm {Sp} mal mathrm {Sp} )/Mathrm {Sp} } Symplektische Gruppe (quaternionische Stiefel-Mannigfaltigkeit) {Anzeigestil Omega ^{6}} {Anzeigestil mathrm {Sp} /U} CI complex Lagrangian Grassmannian {Anzeigestil Omega ^{7}} {Anzeigestil U/O} AI Lagrangian Grassmannian Proofs Bott's original proof (Bott 1959) verwendete Morsetheorie, welcher Bott (1956) früher verwendet hatte, um die Homologie von Lie-Gruppen zu studieren. Viele verschiedene Beweise wurden gegeben.

Hinweise ^ Die Interpretation und Kennzeichnung ist leicht falsch, und bezieht sich auf irreduzible symmetrische Räume, während dies die allgemeineren reduktiven Räume sind. Zum Beispiel, SU/Sp ist irreduzibel, während U/Sp reduktiv ist. Wie diese zeigen, der Unterschied kann dahingehend interpretiert werden, ob man Orientierung einschließt oder nicht. Referenzen ^ "Einführung". Bott, Raul (1956), "Eine Anwendung der Morsetheorie auf die Topologie von Lie-Gruppen", Bulletin der Mathematischen Gesellschaft von Frankreich, 84: 251–281, doi:10.24033/bsmf.1472, ISSN 0037-9484, HERR 0087035 Bott, Raul (1957), "Die stabile Homotopie der klassischen Gruppen", Proceedings of the National Academy of Sciences der Vereinigten Staaten von Amerika, 43 (10): 933–5, Bibcode:1957PNAS...43..933B, doi:10.1073/pnas.43.10.933, JSTOR 89403, HERR 0102802, PMC 528555, PMID 16590113 Bott, Raul (1959), "Die stabile Homotopie der klassischen Gruppen", Annalen der Mathematik, Zweite Serie, 70 (2): 313–337, doi:10.2307/1970106, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970106, HERR 0110104, PMC 528555, PMID 16590113 Bott, Raul (1970), "Der Periodizitätssatz für die klassischen Gruppen und einige seiner Anwendungen", Fortschritte in der Mathematik, 4 (3): 353–411, doi:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Eine erläuternde Darstellung des Theorems und der ihn umgebenden Mathematik. Giffen, CH. (1996), "Bott-Periodizität und die Q-Konstruktion", in Banaszak, Gregor; Gajda, Wojciech; Krason, Piotr (Hrsg.), Algebraische K-Theorie, Zeitgenössische Mathematik, vol. 199, Amerikanische Mathematische Gesellschaft, pp. 107–124, ISBN 978-0-8218-0511-4, HERR 1409620 Milnor, J. (1969). Morse-Theorie. Princeton University Press. ISBN 0-691-08008-9. Baez, John (21 Juni 1997). "Woche 105". Die Funde dieser Woche in der mathematischen Physik. Kategorien: Topologie der Lie-GruppenTheoreme der Homotopietheorie