Teorema de Borsuk–Ulam

Teorema de Borsuk–Ulam Em matemática, o teorema de Borsuk-Ulam afirma que toda função contínua de uma n-esfera para o espaço n euclidiano mapeia algum par de pontos antípodas para o mesmo ponto. Aqui, dois pontos em uma esfera são chamados de antípodas se estiverem em direções exatamente opostas do centro da esfera.

Formalmente: E se {estilo de exibição f:S^{n}para mathbb {R} ^{n}} é contínua então existe uma {estilo de exibição xin S^{n}} de tal modo que: {estilo de exibição f(-x)=f(x)} .

O caso {estilo de exibição n=1} pode ser ilustrado dizendo que sempre existe um par de pontos opostos no equador da Terra com a mesma temperatura. O mesmo vale para qualquer círculo. Isso assume que a temperatura varia continuamente no espaço.

O caso {estilo de exibição n=2} é muitas vezes ilustrado dizendo que a qualquer momento, há sempre um par de pontos antípodas na superfície da Terra com temperaturas iguais e pressões barométricas iguais, assumindo que ambos os parâmetros variam continuamente no espaço.

O teorema de Borsuk-Ulam tem várias declarações equivalentes em termos de funções ímpares. Lembre-se que {estilo de exibição S^{n}} é a n-esfera e {estilo de exibição B^{n}} é a n-bola: Se {estilo de exibição g:S^{n}para mathbb {R} ^{n}} é uma função ímpar contínua, então existe um {estilo de exibição xin S^{n}} de tal modo que: {estilo de exibição g(x)=0} . Se {estilo de exibição g:B^{n}para mathbb {R} ^{n}} é uma função contínua que é ímpar em {estilo de exibição S^{n-1}} (o limite de {estilo de exibição B^{n}} ), então existe um {estilo de exibição xin B^{n}} de tal modo que: {estilo de exibição g(x)=0} . Conteúdo 1 História 2 Declarações equivalentes 2.1 Com funções ímpares 2.2 Com retrações 3 Provas 3.1 1-caso dimensional 3.2 Caso Geral 3.2.1 Prova topológica algébrica 3.2.2 Prova combinatória 4 Corolários 5 Resultados equivalentes 6 Generalizações 7 Veja também 8 Notas 9 Referências 10 External links History According to Jiří Matoušek (2003, p. 25), the first historical mention of the statement of the Borsuk–Ulam theorem appears in Lyusternik & Shnirel'man (1930). The first proof was given by Karol Borsuk (1933), onde a formulação do problema foi atribuída a Stanislaw Ulam. Desde então, muitas provas alternativas foram encontradas por vários autores, conforme coletado por Steinlein (1985).

Equivalent statements The following statements are equivalent to the Borsuk–Ulam theorem.[1] With odd functions A function {estilo de exibição g} é chamado de estranho (também conhecido como antípoda ou preservação antípoda) se para cada {estilo de exibição x} : {estilo de exibição g(-x)=-g(x)} .

O teorema de Borsuk-Ulam é equivalente à seguinte afirmação: Uma função ímpar contínua de uma n-esfera para o n-espaço euclidiano tem um zero. PROVA: Se o teorema estiver correto, então é especificamente correto para funções ímpares, e para uma função ímpar, {estilo de exibição g(-x)=g(x)} se {estilo de exibição g(x)=0} . Portanto, toda função contínua ímpar tem um zero. Para cada função contínua {estilo de exibição f} , a seguinte função é contínua e ímpar: {estilo de exibição g(x)=f(x)-f(-x)} . Se toda função contínua ímpar tem um zero, então {estilo de exibição g} tem um zero, e, portanto,, {estilo de exibição f(x)=f(-x)} . Portanto, o teorema está correto. With retractions Define a retraction as a function {estilo de exibição h:S^{n}para S^{n-1}.} O teorema de Borsuk–Ulam é equivalente à seguinte afirmação: não há retração ímpar contínua.

Prova: Se o teorema estiver correto, então toda função ímpar contínua de {estilo de exibição S^{n}} deve incluir 0 na sua gama. No entanto, {estilo de exibição 0notin S^{n-1}} então não pode haver uma função ímpar contínua cujo intervalo é {estilo de exibição S^{n-1}} .

Por outro lado, se estiver incorreto, então existe uma função ímpar contínua {estilo de exibição g:S^{n}para {mathbb {R}}^{n}} sem zeros. Então podemos construir outra função ímpar {estilo de exibição h:S^{n}para S^{n-1}} por: {estilo de exibição h(x)={fratura {g(x)}{|g(x)|}}} desde {estilo de exibição g} não tem zeros, {estilo de exibição h} é bem definida e contínua. Assim, temos uma retração ímpar contínua.

Proofs 1-dimensional case The 1-dimensional case can easily be proved using the intermediate value theorem (IVT).

Deixar {estilo de exibição g} ser uma função contínua de valor real ímpar em um círculo. Escolha um arbitrário {estilo de exibição x} . Se {estilo de exibição g(x)=0} então terminamos. Por outro lado, sem perda de generalidade, {estilo de exibição g(x)>0.} Mas {estilo de exibição g(-x)<0.} Hence, by the IVT, there is a point {displaystyle y} between {displaystyle x} and {displaystyle -x} at which {displaystyle g(y)=0} . General case Algebraic topological proof Assume that {displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}} is an odd continuous function with {displaystyle n>2} (O caso {estilo de exibição n=1} é tratado acima, O caso {estilo de exibição n=2} pode ser tratado usando a teoria básica de cobertura). Ao passar para órbitas sob a ação antípoda, obtemos então uma função contínua induzida {estilo de exibição h':mathbb {PR} ^{n}para mathbb {PR} ^{n-1}} entre espaços projetivos reais, que induz um isomorfismo em grupos fundamentais. Pelo teorema de Hurewicz, o homomorfismo de anel induzido em cohomologia com {estilo de exibição mathbb {F} _{2}} coeficientes [Onde {estilo de exibição mathbb {F} _{2}} denota o campo com dois elementos], {estilo de exibição mathbb {F} _{2}[uma]/um^{n+1}=H^{*}deixei(mathbb {PR} ^{n};mathbb {F} _{2}certo)seta para a esquerda H^{*}deixei(mathbb {PR} ^{n-1};mathbb {F} _{2}certo)= mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},} envia {estilo de exibição b} para {estilo de exibição a} . Mas então nós conseguimos isso {estilo de exibição b^{n}=0} é enviado para {estilo de exibição a^{n}neq 0} , uma contradição.[2] Pode-se também mostrar a afirmação mais forte de que qualquer mapa estranho {estilo de exibição S^{n-1}para S^{n-1}} tem grau ímpar e então deduz o teorema deste resultado.

Combinatorial proof The Borsuk–Ulam theorem can be proved from Tucker's lemma.[1][3][4] Deixar {estilo de exibição g:S^{n}para mathbb {R} ^{n}} seja uma função ímpar contínua. Como g é contínua em um domínio compacto, é uniformemente contínuo. Portanto, para cada {displaystyle epsilon >0} , existe um {displaystyle delta >0} de tal modo que, para cada dois pontos de {estilo de exibição S_{n}} que estão dentro {delta de estilo de exibição } de cada um, suas imagens em g estão dentro {displaystyle épsilon } de cada um.

Defina uma triangulação de {estilo de exibição S_{n}} com arestas de comprimento no máximo {delta de estilo de exibição } . Rotule cada vértice {estilo de exibição v} da triangulação com um rótulo {estilo de exibição l(v)dentro {pm 1, pm 2, ldots ,pm n}} Da seguinte maneira: O valor absoluto do rótulo é o índice da coordenada com o maior valor absoluto de g: {estilo de exibição |eu(v)|=arg max _{k}(|g(v)_{k}|)} . O sinal do rótulo é o sinal de g, de modo a: {estilo de exibição l(v)=nome do operador {sinal}(g(v))|eu(v)|} .

Porque g é ímpar, a rotulagem também é estranha: {estilo de exibição l(-v)=-l(v)} . Por isso, pelo lema de Tucker, existem dois vértices adjacentes {estilo de exibição você,v} com rótulos opostos. Suponha w.l.o.g. que os rótulos são {estilo de exibição l(você)=1,l(v)=-1} . Pela definição de l, isso significa que em ambos {estilo de exibição g(você)} e {estilo de exibição g(v)} , coordenada #1 é a maior coordenada: dentro {estilo de exibição g(você)} esta coordenada é positiva enquanto em {estilo de exibição g(v)} é negativo. Pela construção da triangulação, a distância entre {estilo de exibição g(você)} e {estilo de exibição g(v)} é no máximo {displaystyle épsilon } , então em particular {estilo de exibição |g(você)_{1}-g(v)_{1}|=|g(você)_{1}|+|g(v)_{1}|leq épsilon } (desde {estilo de exibição g(você)_{1}} e {estilo de exibição g(v)_{1}} tem sinais opostos) e entao {estilo de exibição |g(você)_{1}|leq épsilon } . Mas como a maior coordenada de {estilo de exibição g(você)} é coordenado #1, Isso significa que {estilo de exibição |g(você)_{k}|leq épsilon } para cada {displaystyle 1leg kleg n} . Então {estilo de exibição |g(você)|leq c_{n}épsilon } , Onde {estilo de exibição c_{n}} é alguma constante dependendo {estilo de exibição m} e a norma {estilo de exibição |cdot |} que você escolheu.

O acima é verdadeiro para cada {displaystyle epsilon >0} ; desde {estilo de exibição S_{n}} é compacto, deve haver, portanto, um ponto u no qual {estilo de exibição |g(você)|=0} .

Corolários Nenhum subconjunto de {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} é homeomorfo a {estilo de exibição S^{n}} O teorema do sanduíche de presunto: Para qualquer conjunto compacto A1, ..., Um em {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} sempre podemos encontrar um hiperplano dividindo cada um deles em dois subconjuntos de igual medida. Equivalent results Above we showed how to prove the Borsuk–Ulam theorem from Tucker's lemma. A recíproca também é verdadeira: é possível provar o lema de Tucker a partir do teorema de Borsuk–Ulam. Portanto, esses dois teoremas são equivalentes. Existem vários teoremas de ponto fixo que vêm em três variantes equivalentes: uma variante de topologia algébrica, uma variante combinatória e uma variante de cobertura de conjunto. Cada variante pode ser provada separadamente usando argumentos totalmente diferentes, mas cada variante também pode ser reduzida às outras variantes em sua linha. Adicionalmente, cada resultado na linha superior pode ser deduzido do resultado abaixo na mesma coluna.[5] Algebraic topology Combinatorics Set covering Brouwer fixed-point theorem Sperner's lemma Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma Borsuk–Ulam theorem Tucker's lemma Lusternik–Schnirelmann theorem Generalizations In the original theorem, o domínio da função f é a unidade n-esfera (o limite da unidade n-ball). No geral, é verdade também quando o domínio de f é o limite de qualquer subconjunto simétrico aberto limitado de {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} contendo a origem (Aqui, simétrico significa que se x está no subconjunto, então -x também está no subconjunto).[6] Considere a função A que mapeia um ponto ao seu ponto antípoda: {estilo de exibição A(x)=-x.} Observe que {estilo de exibição A(UMA(x))= x.} O teorema original afirma que existe um ponto x no qual {estilo de exibição f(UMA(x))=f(x).} No geral, isso também é verdade para toda função A para a qual {estilo de exibição A(UMA(x))= x.} [7] No entanto, em geral, isso não é verdade para outras funções A.[8] Veja também Combinatória topológica Problema de divisão de colares Teorema do sanduíche de presunto Teorema de Kakutani (geometria) Imre Bárány Notas ^ Ir para: a b Prescott, Timóteo (2002). "Extensões do Teorema de Borsuk–Ulam (Tese)". Faculdade Harvey Mudd. CiteSeerX 10.1.1.124.4120. ^ José J. Rotman, Uma Introdução à Topologia Algébrica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Ver capítulo 12 para uma exposição completa.) ^ Freund, Roberto M; Todd, Michael J (1982). "Uma prova construtiva do lema combinatório de Tucker". Jornal de Teoria Combinatória, Série A. 30 (3): 321-325. doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3. ^ Simões, Floresta W.; Eles são, Francisco Eduardo (2003). "Consensus-halving via teoremas de Borsuk-Ulam e Tucker". Ciências Sociais Matemáticas. 45: 15-25. doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2. HDL:10419/94656. ^ Nyman, Kathryn L.; Eles são, Francisco Eduardo (2013), "Um equivalente Borsuk-Ulam que implica diretamente o lema de Sperner", Mensal de Matemática Americana, 120 (4): 346-354, doi:10.4169/amer.mate.mensal.120.04.346, SENHOR 3035127 ^ "Teorema do ponto fixo de Borsuk", Enciclopédia de Matemática, Imprensa EMS, 2001 [1994] ^ Yang, Chung-Tao (1954). "Sobre os teoremas de Borsuk-Ulam, Não há lugar como o lar - Job e Dyson, EU". Anais da Matemática. 60 (2): 262-282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632. ^ Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "Generalização de Borsuk-Ulam". Estouro de matemática. Recuperado 18 Poderia 2015. Referências Borsuk, Karol (1933). "Três teoremas sobre a esfera euclidiana n-dimensional" (PDF). Fundamentos da Matemática (em alemão). 20: 177-190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190. Lusternik, Lázar; Shnirel'man, Lev (1930). "Métodos Topológicos em Problemas Variacionais". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. você. Moscou. Matousek, Jorge (2003). Usando o teorema de Borsuk-Ulam. Berlim: Editora Springer. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. Steinlein, H. (1985). "Teorema antípoda de Borsuk e suas generalizações e aplicações: um questionário. Métodos topológicos em análise não linear". Sem. Matemática. Super. Montreal, Sem. Sci. EU VOU LEVAR (Adv da OTAN. Estude Inst.). 95: 166-235. Eles são, Francisco Eduardo (novembro 1997). "Borsuk-Ulam implica cervejeiro: Uma construção direta" (PDF). O American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Arquivado a partir do original (PDF) sobre 2008-10-13. Recuperado 2006-04-21. Links externos Quem (senão) se preocupa com a topologia? Colares roubados e Borsuk-Ulam nas categorias do YouTube: Pontos fixos (matemática)Topologia algébricaCombinatóriaMapeamentos contínuosTeoremas em topologia