Teorema di Borsuk-Ulam

Teorema di Borsuk-Ulam In matematica, il teorema di Borsuk-Ulam afferma che ogni funzione continua da una n-sfera nell'n-spazio euclideo mappa una coppia di punti agli antipodi nello stesso punto. Qui, due punti su una sfera si dicono antipodi se si trovano in direzioni esattamente opposte rispetto al centro della sfera.

Formalmente: Se {stile di visualizzazione f:S^{n}a matematicabb {R} ^{n}} è continuo allora esiste un {stile di visualizzazione xin S^{n}} tale che: {stile di visualizzazione f(-X)=f(X)} .

Il caso {stile di visualizzazione n=1} può essere illustrato dicendo che esistono sempre una coppia di punti opposti sull'equatore terrestre con la stessa temperatura. Lo stesso vale per qualsiasi cerchio. Ciò presuppone che la temperatura vari continuamente nello spazio.

Il caso {stile di visualizzazione n=2} è spesso illustrato dicendo che in qualsiasi momento, c'è sempre una coppia di punti agli antipodi sulla superficie terrestre con uguali temperature e uguali pressioni barometriche, supponendo che entrambi i parametri varino continuamente nello spazio.

Il teorema di Borsuk-Ulam ha diverse affermazioni equivalenti in termini di funzioni dispari. Richiama questo {stile di visualizzazione S^{n}} è la n-sfera e {stile di visualizzazione B^{n}} è la palla n: Se {stile di visualizzazione g:S^{n}a matematicabb {R} ^{n}} è una funzione dispari continua, allora esiste un {stile di visualizzazione xin S^{n}} tale che: {stile di visualizzazione g(X)=0} . Se {stile di visualizzazione g:B^{n}a matematicabb {R} ^{n}} è una funzione continua che è dispari su {stile di visualizzazione S^{n-1}} (il confine di {stile di visualizzazione B^{n}} ), allora esiste un {displaystyle xin B^{n}} tale che: {stile di visualizzazione g(X)=0} . Contenuti 1 Storia 2 Dichiarazioni equivalenti 2.1 Con funzioni dispari 2.2 Con ritrattazioni 3 Prove 3.1 1-caso dimensionale 3.2 Caso generale 3.2.1 Dimostrazione topologica algebrica 3.2.2 Prova combinatoria 4 Corollari 5 Risultati equivalenti 6 generalizzazioni 7 Guarda anche 8 Appunti 9 Riferimenti 10 External links History According to Jiří Matoušek (2003, p. 25), the first historical mention of the statement of the Borsuk–Ulam theorem appears in Lyusternik & Shnirel'man (1930). The first proof was given by Karol Borsuk (1933), dove la formulazione del problema è stata attribuita a Stanislaw Ulam. Da allora, molte prove alternative sono state trovate da vari autori, come raccolto da Steinlein (1985).

Equivalent statements The following statements are equivalent to the Borsuk–Ulam theorem.[1] With odd functions A function {stile di visualizzazione g} si chiama dispari (alias antipodal o antipode-preserving) se per ogni {stile di visualizzazione x} : {stile di visualizzazione g(-X)=-g(X)} .

Il teorema di Borsuk-Ulam è equivalente alla seguente affermazione: Una funzione dispari continua da una n-sfera in n-spazio euclideo ha uno zero. PROVA: Se il teorema è corretto, allora è specificamente corretto per le funzioni dispari, e per una funzione dispari, {stile di visualizzazione g(-X)=g(X)} se {stile di visualizzazione g(X)=0} . Quindi ogni funzione continua dispari ha uno zero. Per ogni funzione continua {stile di visualizzazione f} , la seguente funzione è continua e dispari: {stile di visualizzazione g(X)=f(X)-f(-X)} . Se ogni funzione continua dispari ha uno zero, poi {stile di visualizzazione g} ha uno zero, e quindi, {stile di visualizzazione f(X)=f(-X)} . Quindi il teorema è corretto. With retractions Define a retraction as a function {stile di visualizzazione h:S^{n}a S^{n-1}.} Il teorema di Borsuk-Ulam è equivalente alla seguente affermazione: non c'è una retrazione dispari continua.

Prova: Se il teorema è corretto, quindi ogni funzione dispari continua da {stile di visualizzazione S^{n}} deve includere 0 nel suo raggio d'azione. Tuttavia, {displaystyle 0notin S^{n-1}} quindi non può esserci una funzione dispari continua il cui intervallo sia {stile di visualizzazione S^{n-1}} .

al contrario, se non è corretto, allora c'è una funzione dispari continua {stile di visualizzazione g:S^{n}a {mathbb {R}}^{n}} senza zeri. Quindi possiamo costruire un'altra funzione dispari {stile di visualizzazione h:S^{n}a S^{n-1}} di: {stile di visualizzazione h(X)={frac {g(X)}{|g(X)|}}} da {stile di visualizzazione g} non ha zeri, {stile di visualizzazione h} è ben definito e continuo. Quindi abbiamo una retrazione dispari continua.

Proofs 1-dimensional case The 1-dimensional case can easily be proved using the intermediate value theorem (IVT).

Permettere {stile di visualizzazione g} essere una funzione continua dispari di valore reale su una circonferenza. Scegli un arbitrario {stile di visualizzazione x} . Se {stile di visualizzazione g(X)=0} allora abbiamo finito. Altrimenti, senza perdita di generalità, {stile di visualizzazione g(X)>0.} Ma {stile di visualizzazione g(-X)<0.} Hence, by the IVT, there is a point {displaystyle y} between {displaystyle x} and {displaystyle -x} at which {displaystyle g(y)=0} . General case Algebraic topological proof Assume that {displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}} is an odd continuous function with {displaystyle n>2} (il caso {stile di visualizzazione n=1} è trattato sopra, il caso {stile di visualizzazione n=2} può essere gestito utilizzando la teoria della copertura di base). Passando in orbite sotto l'azione antipodale, otteniamo quindi una funzione continua indotta {stile di visualizzazione h':mathbb {RP} ^{n}a matematicabb {RP} ^{n-1}} tra spazi proiettivi reali, che induce un isomorfismo sui gruppi fondamentali. Per il teorema di Hurewicz, l'omomorfismo dell'anello indotto sulla coomologia con {displaystyle mathbb {F} _{2}} coefficienti [dove {displaystyle mathbb {F} _{2}} denota il campo con due elementi], {displaystyle mathbb {F} _{2}[un]/un^{n+1}=H^{*}sinistra(mathbb {RP} ^{n};mathbb {F} _{2}Giusto)freccia sinistra H^{*}sinistra(mathbb {RP} ^{n-1};mathbb {F} _{2}Giusto)= matematica bb {F} _{2}[b]/b^{n},} invia {stile di visualizzazione b} a {stile di visualizzazione a} . Ma poi lo capiamo {stile di visualizzazione b^{n}=0} viene inviato a {stile di visualizzazione a^{n}neq 0} , una contraddizione.[2] Si può anche mostrare l'affermazione più forte che qualsiasi mappa dispari {stile di visualizzazione S^{n-1}a S^{n-1}} ha grado dispari e quindi dedurre il teorema da questo risultato.

Combinatorial proof The Borsuk–Ulam theorem can be proved from Tucker's lemma.[1][3][4] Permettere {stile di visualizzazione g:S^{n}a matematicabb {R} ^{n}} essere una funzione dispari continua. Perché g è continuo su un dominio compatto, è uniformemente continuo. Perciò, per ogni {displaystyle epsilon >0} , c'è un {displaystyle delta >0} tale che, per ogni due punti di {stile di visualizzazione S_{n}} che sono dentro {delta dello stile di visualizzazione } di ciascun altro, le loro immagini sotto g sono all'interno {displaystyle epsilon } di ciascun altro.

Definire una triangolazione di {stile di visualizzazione S_{n}} con bordi di lunghezza al massimo {delta dello stile di visualizzazione } . Etichetta ogni vertice {stile di visualizzazione v} della triangolazione con un'etichetta {stile di visualizzazione l(v)in {pm 1, pm 2, ldots ,pm n}} nel seguente modo: Il valore assoluto dell'etichetta è l'indice della coordinata con il valore assoluto più alto di g: {stile di visualizzazione |l(v)|=arg max _{K}(|g(v)_{K}|)} . Il segno dell'etichetta è il segno di g, affinché: {stile di visualizzazione l(v)=nome operatore {sgn}(g(v))|l(v)|} .

Perché g è dispari, anche l'etichetta è strana: {stile di visualizzazione l(-v)=-l(v)} . Quindi, dal lemma di Tucker, ci sono due vertici adiacenti {stile di visualizzazione u,v} con etichette opposte. Assumi w.l.o.g. che sono le etichette {stile di visualizzazione l(tu)=1,l(v)=-1} . Con la definizione di l, questo significa che in entrambi {stile di visualizzazione g(tu)} e {stile di visualizzazione g(v)} , coordinata #1 è la coordinata più grande: in {stile di visualizzazione g(tu)} questa coordinata è positiva mentre ci si trova dentro {stile di visualizzazione g(v)} è negativo. Dalla costruzione della triangolazione, la distanza tra {stile di visualizzazione g(tu)} e {stile di visualizzazione g(v)} è al massimo {displaystyle epsilon } , quindi in particolare {stile di visualizzazione |g(tu)_{1}-g(v)_{1}|=|g(tu)_{1}|+|g(v)_{1}|leq epsilon } (da {stile di visualizzazione g(tu)_{1}} e {stile di visualizzazione g(v)_{1}} avere segni opposti) e così {stile di visualizzazione |g(tu)_{1}|leq epsilon } . Ma poiché la coordinata più grande di {stile di visualizzazione g(tu)} è coordinata #1, ciò significa che {stile di visualizzazione |g(tu)_{K}|leq epsilon } per ciascuno {displaystyle 1leg kleg n} . Così {stile di visualizzazione |g(tu)|leq c_{n}epsilon } , dove {stile di visualizzazione c_{n}} è una costante a seconda {stile di visualizzazione n} e la norma {stile di visualizzazione |cdot |} che hai scelto.

Quanto sopra vale per tutti {displaystyle epsilon >0} ; da {stile di visualizzazione S_{n}} è compatto ci deve quindi essere un punto u in cui {stile di visualizzazione |g(tu)|=0} .

Corollari Nessun sottoinsieme di {displaystyle mathbb {R} ^{n}} è omeomorfo a {stile di visualizzazione S^{n}} Il teorema del panino al prosciutto: Per qualsiasi set compatto A1, ..., Un dentro {displaystyle mathbb {R} ^{n}} possiamo sempre trovare un iperpiano che li divide in due sottoinsiemi di uguale misura. Equivalent results Above we showed how to prove the Borsuk–Ulam theorem from Tucker's lemma. È vero anche il contrario: è possibile dimostrare il lemma di Tucker dal teorema di Borsuk-Ulam. Perciò, questi due teoremi sono equivalenti. Esistono diversi teoremi di punto fisso che sono disponibili in tre varianti equivalenti: una variante di topologia algebrica, una variante combinatoria e una variante set-covering. Ogni variante può essere dimostrata separatamente utilizzando argomenti totalmente diversi, ma ogni variante può essere ridotta anche alle altre varianti della sua riga. Inoltre, ogni risultato nella riga superiore può essere dedotto da quello sottostante nella stessa colonna.[5] Algebraic topology Combinatorics Set covering Brouwer fixed-point theorem Sperner's lemma Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma Borsuk–Ulam theorem Tucker's lemma Lusternik–Schnirelmann theorem Generalizations In the original theorem, il dominio della funzione f è l'unità n-sfera (il confine dell'unità n-ball). In generale, è vero anche quando il dominio di f è il confine di qualsiasi sottoinsieme simmetrico aperto e limitato di {displaystyle mathbb {R} ^{n}} contenente l'origine (Qui, simmetrico significa che se x è nel sottoinsieme allora -x è anche nel sottoinsieme).[6] Si consideri la funzione A che mappa un punto al suo punto agli antipodi: {stile di visualizzazione A(X)=-x.} Notare che {stile di visualizzazione A(UN(X))=x.} Il teorema originale afferma che esiste un punto x in cui {stile di visualizzazione f(UN(X))=f(X).} In generale, questo vale anche per ogni funzione A per la quale {stile di visualizzazione A(UN(X))=x.} [7] Tuttavia, in generale questo non è vero per altre funzioni A.[8] Vedi anche Combinatoria topologica Problema di scissione di collana Teorema sandwich di Ham Teorema di Kakutani (geometria) Imre Bárány Note ^ Salta su: a b Prescott, Timoteo (2002). "Estensioni del teorema di Borsuk-Ulam (Tesi)". Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120. ^ Giuseppe J. Rotman, Introduzione alla topologia algebrica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Vedere il capitolo 12 per un'esposizione completa.) ^ Freund, Robert M; Todd, Michael J (1982). "Una dimostrazione costruttiva del lemma combinatorio di Tucker". Rivista di teoria combinatoria, Serie A. 30 (3): 321–325. doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3. ^ Simmons, Foresta W.; Sono, Francesco Edoardo (2003). "Dimezzamento del consenso tramite teoremi di Borsuk-Ulam e Tucker". Scienze Matematiche Sociali. 45: 15–25. doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl:10419/94656. ^ Nyman, Kathryn L.; Sono, Francesco Edoardo (2013), "Un equivalente Borsuk-Ulam che implica direttamente il lemma di Sperner", Mensile matematico americano, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.mensile.120.04.346, SIG 3035127 ^ "Teorema del punto fisso di Borsuk", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] ^ Yang, Chung Tao (1954). "Sui teoremi di Borsuk-Ulam, Non c'è posto come casa: Job e Dyson, io". Annali di matematica. 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632. ^ Jens Reinhold, Faisal; Sergej Ivanov. "Generalizzazione di Borsuk-Ulam". Overflow di matematica. Recuperato 18 Maggio 2015. Riferimenti Borsuk, Carlo (1933). "Tre teoremi sulla sfera euclidea n-dimensionale" (PDF). Fondamenti di matematica (in tedesco). 20: 177–190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190. Lusternik, Lazzaro; Shnirel'uomo, lev (1930). "Metodi topologici nei problemi variazionali". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. u. Mosca. Matousek, Giorgio (2003). Usando il teorema di Borsuk-Ulam. Berlino: Casa editrice Springer. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. Steinlein, H. (1985). "Il teorema agli antipodi di Borsuk e sue generalizzazioni e applicazioni: un sondaggio. Metodi topologici nell'analisi non lineare". sem. Matematica. Super. Montreal, sem. Sci. PRENDERÒ (Avv. Nato. Studio Inst.). 95: 166–235. Sono, Francesco Edoardo (nov 1997). "Borsuk-Ulam implica birraio: Una costruzione diretta" (PDF). Il mensile matematico americano. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Archiviato dall'originale (PDF) Su 2008-10-13. Recuperato 2006-04-21. Link esterni Chi (altro) si preoccupa della topologia? Collane rubate e Borsuk-Ulam su YouTube Categorie: Punti fissi (matematica)Topologia algebricaCombinatoriaMappatura continuaTeoremi in topologia