Théorème de Borsuk-Ulam

Théorème de Borsuk-Ulam En mathématiques, le théorème de Borsuk – Ulam stipule que chaque fonction continue d'une n -sphère dans l'espace n euclidien mappe une paire de points antipodaux au même point. Ici, deux points sur une sphère sont dits antipodaux s'ils sont dans des directions exactement opposées par rapport au centre de la sphère.

Officiellement: si {style d'affichage f:S^{n}à mathbb {R} ^{n}} est continue alors il existe un {style d'affichage xin S^{n}} tel que: {style d'affichage f(-X)=f(X)} .

L'affaire {displaystyle n=1} peut être illustré en disant qu'il existe toujours une paire de points opposés sur l'équateur terrestre avec la même température. Il en est de même pour n'importe quel cercle. Cela suppose que la température varie continuellement dans l'espace.

L'affaire {displaystyle n=2} est souvent illustré en disant qu'à tout moment, il y a toujours une paire de points antipodaux sur la surface de la Terre avec des températures égales et des pressions barométriques égales, en supposant que les deux paramètres varient continûment dans l'espace.

Le théorème de Borsuk – Ulam a plusieurs déclarations équivalentes en termes de fonctions impaires. Rappeler que {style d'affichage S^{n}} est la n-sphère et {style d'affichage B^{n}} est la n-ball: Si {style d'affichage g:S^{n}à mathbb {R} ^{n}} est une fonction impaire continue, alors il existe un {style d'affichage xin S^{n}} tel que: {style d'affichage g(X)=0} . Si {style d'affichage g:B^{n}à mathbb {R} ^{n}} est une fonction continue impaire sur {style d'affichage S^{n-1}} (la limite de {style d'affichage B^{n}} ), alors il existe un {style d'affichage xin B^{n}} tel que: {style d'affichage g(X)=0} . Contenu 1 Histoire 2 Énoncés équivalents 2.1 Avec des fonctions étranges 2.2 Avec rétractations 3 Preuves 3.1 1-boîtier dimensionnel 3.2 Cas général 3.2.1 Preuve topologique algébrique 3.2.2 Preuve combinatoire 4 Corollaires 5 Résultats équivalents 6 Généralisations 7 Voir également 8 Remarques 9 Références 10 Liens externes Histoire Selon Jiří Matoušek (2003, p. 25), the first historical mention of the statement of the Borsuk–Ulam theorem appears in Lyusternik & Shnirel'man (1930). La première preuve a été donnée par Karol Borsuk (1933), où la formulation du problème a été attribuée à Stanislaw Ulam. Depuis, de nombreuses preuves alternatives ont été trouvées par divers auteurs, tel que collecté par Steinlein (1985).

Déclarations équivalentes Les déclarations suivantes sont équivalentes au théorème de Borsuk-Ulam.[1] Avec des fonctions impaires Une fonction {style d'affichage g} est dit impair (alias antipodal ou préservant les antipodes) si pour chaque {style d'affichage x} : {style d'affichage g(-X)=-g(X)} .

Le théorème de Borsuk-Ulam est équivalent à la déclaration suivante: Une fonction impaire continue d'une n-sphère dans un n-espace euclidien a un zéro. PREUVE: Si le théorème est correct, alors il est spécifiquement correct pour les fonctions impaires, et pour une fonction impaire, {style d'affichage g(-X)= g(X)} ssi {style d'affichage g(X)=0} . Donc toute fonction continue impaire a un zéro. Pour chaque fonction continue {style d'affichage f} , la fonction suivante est continue et impaire: {style d'affichage g(X)=f(X)-F(-X)} . Si toute fonction continue impaire a un zéro, alors {style d'affichage g} a un zéro, et donc, {style d'affichage f(X)=f(-X)} . Donc le théorème est correct. Avec retraits Définir un retrait en tant que fonction {style d'affichage h:S^{n}à S^{n-1}.} Le théorème de Borsuk – Ulam équivaut à l'affirmation suivante: il n'y a pas de rétraction impaire continue.

Preuve: Si le théorème est correct, alors toute fonction impaire continue de {style d'affichage S^{n}} doit inclure 0 dans sa gamme. Cependant, {style d'affichage 0notin S^{n-1}} il ne peut donc pas y avoir de fonction impaire continue dont la plage est {style d'affichage S^{n-1}} .

inversement, si c'est faux, alors il existe une fonction impaire continue {style d'affichage g:S^{n}à {mathbb {R}}^{n}} sans zéro. On peut alors construire une autre fonction impaire {style d'affichage h:S^{n}à S^{n-1}} par: {style d'affichage h(X)={frac {g(X)}{|g(X)|}}} puisque {style d'affichage g} n'a pas de zéros, {style d'affichage h} est bien défini et continu. On a donc une rétraction impaire continue.

Preuves Cas unidimensionnel Le cas unidimensionnel peut facilement être prouvé en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires (IVT).

Laisser {style d'affichage g} être une fonction continue à valeur réelle impaire sur un cercle. Choisissez un arbitraire {style d'affichage x} . Si {style d'affichage g(X)=0} alors nous avons fini. Autrement, sans perte de généralité, {style d'affichage g(X)>0.} Mais {style d'affichage g(-X)<0.} Hence, by the IVT, there is a point {displaystyle y} between {displaystyle x} and {displaystyle -x} at which {displaystyle g(y)=0} . General case Algebraic topological proof Assume that {displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}} is an odd continuous function with {displaystyle n>2} (l'affaire {displaystyle n=1} est traité ci-dessus, l'affaire {displaystyle n=2} peut être manipulé en utilisant la théorie de couverture de base). En passant sur des orbites sous l'action antipodale, on obtient alors une fonction continue induite {style d'affichage h':mathbb {PR} ^{n}à mathbb {PR} ^{n-1}} entre espaces projectifs réels, qui induit un isomorphisme sur les groupes fondamentaux. Par le théorème de Hurewicz, l'homomorphisme de cycle induit sur la cohomologie avec {style d'affichage mathbb {F} _{2}} coefficients [où {style d'affichage mathbb {F} _{2}} désigne le champ avec deux éléments], {style d'affichage mathbb {F} _{2}[un]/un ^{n+1}=H^{*}la gauche(mathbb {PR} ^{n};mathbb {F} _{2}droit)flèche gauche H^{*}la gauche(mathbb {PR} ^{n-1};mathbb {F} _{2}droit)=mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},} envoie {style d'affichage b} à {style d'affichage a} . Mais alors on comprend ça {style d'affichage b^{n}=0} est envoyé à {style d'affichage a^{n}neq 0} , une contradiction.[2] On peut également montrer l'énoncé plus fort que toute carte impaire {style d'affichage S^{n-1}à S^{n-1}} de degré impair puis déduire le théorème de ce résultat.

Preuve combinatoire Le théorème de Borsuk–Ulam peut être prouvé à partir du lemme de Tucker.[1][3][4] Laisser {style d'affichage g:S^{n}à mathbb {R} ^{n}} être une fonction impaire continue. Parce que g est continue sur un domaine compact, il est uniformément continu. Par conséquent, pour chaque {displaystyle epsilon >0} , Il y a un {displaystyle delta >0} tel que, pour chaque deux points de {style d'affichage S_{n}} qui sont à l'intérieur {delta de style d'affichage } les uns des autres, leurs images sous g sont à l'intérieur {style d'affichage epsilon } les uns des autres.

Définir une triangulation de {style d'affichage S_{n}} avec des bords de longueur au plus {delta de style d'affichage } . Étiquetez chaque sommet {style d'affichage v} de la triangulation avec une étiquette {displaystyle l(v)dans {13h, 14h, points ,pm n}} de la manière suivante: La valeur absolue de l'étiquette est l'indice de la coordonnée avec la valeur absolue la plus élevée de g: {style d'affichage |je(v)|=arg max _{k}(|g(v)_{k}|)} . Le signe de l'étiquette est le signe de g, pour que: {displaystyle l(v)=nomopérateur {nsg}(g(v))|je(v)|} .

Parce que g est impair, l'étiquetage est aussi bizarre: {displaystyle l(-v)=-l(v)} . Ainsi, par le lemme de Tucker, il y a deux sommets adjacents {style d'affichage u,v} avec des étiquettes opposées. Supposons w.l.o.g. que les étiquettes sont {displaystyle l(tu)=1,l(v)=-1} . Par la définition de l, cela signifie que dans les deux {style d'affichage g(tu)} et {style d'affichage g(v)} , coordonner #1 est la plus grande coordonnée: dans {style d'affichage g(tu)} cette coordonnée est positive tant que dans {style d'affichage g(v)} c'est négatif. Par la construction de la triangulation, la distance entre {style d'affichage g(tu)} et {style d'affichage g(v)} est au plus {style d'affichage epsilon } , donc en particulier {style d'affichage |g(tu)_{1}-g(v)_{1}|=|g(tu)_{1}|+|g(v)_{1}|leq epsilon } (puisque {style d'affichage g(tu)_{1}} et {style d'affichage g(v)_{1}} ont des signes opposés) et donc {style d'affichage |g(tu)_{1}|leq epsilon } . Mais puisque la plus grande coordonnée de {style d'affichage g(tu)} est la coordonnée #1, cela signifie que {style d'affichage |g(tu)_{k}|leq epsilon } pour chaque {style d'affichage 1 jambe kleg n} . Alors {style d'affichage |g(tu)|leq c_{n}epsilon } , où {displaystyle c_{n}} est une constante en fonction de {displaystyle n} et la norme {style d'affichage |cdot |} que vous avez choisi.

Ce qui précède est vrai pour chaque {displaystyle epsilon >0} ; puisque {style d'affichage S_{n}} est compact, il doit donc y avoir un point u dans lequel {style d'affichage |g(tu)|=0} .

Corollaires Aucun sous-ensemble de {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} est homéomorphe à {style d'affichage S^{n}} Le théorème du sandwich au jambon: Pour tous ensembles compacts A1, ..., Un dans {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} on peut toujours trouver un hyperplan divisant chacun d'eux en deux sous-ensembles d'égale mesure. Résultats équivalents Ci-dessus, nous avons montré comment prouver le théorème de Borsuk-Ulam à partir du lemme de Tucker. L'inverse est également vrai: il est possible de prouver le lemme de Tucker à partir du théorème de Borsuk-Ulam. Par conséquent, ces deux théorèmes sont équivalents. Il existe plusieurs théorèmes du point fixe qui se déclinent en trois variantes équivalentes: une variante de topologie algébrique, une variante combinatoire et une variante de couverture d'ensemble. Chaque variante peut être prouvée séparément en utilisant des arguments totalement différents, mais chaque variante peut aussi être réduite aux autres variantes de sa rangée. En outre, chaque résultat de la ligne du haut peut être déduit de celui du dessous dans la même colonne.[5] Topologie algébrique Ensemble combinatoire couvrant le théorème du point fixe de Brouwer Lemme de Sperner Lemme de Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz Théorème de Borsuk–Ulam Lemme de Tucker Théorème de Lusternik–Schnirelmann Généralisations Dans le théorème original, le domaine de la fonction f est l'unité n-sphère (la limite de l'unité n-boule). En général, c'est vrai aussi lorsque le domaine de f est la frontière de tout sous-ensemble symétrique ouvert et borné de {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} contenant l'origine (Ici, symétrique signifie que si x est dans le sous-ensemble alors -x est aussi dans le sous-ensemble).[6] Considérons la fonction A qui associe un point à son point antipodal: {style d'affichage A(X)=-x.} Notez que {style d'affichage A(UN(X))=x.} Le théorème original affirme qu'il existe un point x dans lequel {style d'affichage f(UN(X))=f(X).} En général, ceci est vrai aussi pour toute fonction A pour laquelle {style d'affichage A(UN(X))=x.} [7] Cependant, en général ce n'est pas vrai pour les autres fonctions A.[8] Voir aussi Combinatoire topologique Problème de séparation du collier Théorème du sandwich au jambon Théorème de Kakutani (géométrie) Remarques d'Imre Bárány ^ Aller à: a b Prescott, Timothée (2002). "Extensions du théorème de Borsuk-Ulam (Thèse)". Collège Harvey Mudd. CiteSeerX 10.1.1.124.4120. ^ Joseph J.. Rotman, Une introduction à la topologie algébrique (1988) Springer Edition ISBN 0-387-96678-1 (Voir le chapitre 12 pour une exposition complète.) ^ Freund, Robert M; Todd, Michael J (1982). "Une preuve constructive du lemme combinatoire de Tucker". Journal de théorie combinatoire, Série A. 30 (3): 321–325. est ce que je:10.1016/0097-3165(81)90027-3. ^ Simons, Forêt W.; Elles sont, François Edouard (2003). "Réduction de moitié du consensus via les théorèmes de Borsuk – Ulam et Tucker". 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Lusternik, Lazar; Shnirel'man, Lev (1930). "Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. g. tu. Moscou. Matousek, George (2003). Utilisation du théorème de Borsuk-Ulam. Berlin: Maison d'édition Springer. est ce que je:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. Steinlein, H. (1985). "Théorème antipodal de Borsuk et ses généralisations et applications: un sondage. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Super. Montréal, Sém. SCI. JE VAIS PRENDRE (Adv de l'OTAN. Institut d'étude.). 95: 166–235. Elles sont, François Edouard (Nov 1997). "Borsuk-Ulam implique un brasseur: Une construction directe" (PDF). Le mensuel mathématique américain. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. est ce que je:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Archivé de l'original (PDF) sur 2008-10-13. Récupéré 2006-04-21. Liens externes Qui (autre) se soucie de la topologie? 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