Satz von Borsuk-Ulam

Satz von Borsuk-Ulam In der Mathematik, Das Borsuk-Ulam-Theorem besagt, dass jede kontinuierliche Funktion von einer n-Sphäre in den euklidischen n-Raum ein Paar antipodischer Punkte auf denselben Punkt abbildet. Hier, Zwei Punkte auf einer Kugel heißen Antipoden, wenn sie vom Kugelmittelpunkt aus genau entgegengesetzte Richtungen haben.

Formal: wenn {Anzeigestil f:S^{n}zu mathbb {R} ^{n}} stetig ist, dann existiert ein {Anzeigestil xin S^{n}} so dass: {Anzeigestil f(-x)= f(x)} .

Der Fall {Darstellungsstil n=1} lässt sich damit veranschaulichen, dass es auf dem Erdäquator immer zwei gegenüberliegende Punkte mit gleicher Temperatur gibt. Dasselbe gilt für jeden Kreis. Dies setzt voraus, dass sich die Temperatur im Raum kontinuierlich ändert.

Der Fall {Darstellungsstil n=2} wird oft dadurch veranschaulicht, dass man das jederzeit sagt, Auf der Erdoberfläche gibt es immer ein Paar Antipodenpunkte mit gleichen Temperaturen und gleichem Luftdruck, unter der Annahme, dass beide Parameter kontinuierlich im Raum variieren.

Das Borsuk-Ulam-Theorem hat mehrere äquivalente Aussagen in Bezug auf ungerade Funktionen. Erinnere dich daran {Anzeigestil S^{n}} ist die n-Sphäre und {Anzeigestil B^{n}} ist der n-Ball: Wenn {Anzeigestil g:S^{n}zu mathbb {R} ^{n}} ist eine stetige ungerade Funktion, dann existiert ein {Anzeigestil xin S^{n}} so dass: {Anzeigestil g(x)=0} . Wenn {Anzeigestil g:B^{n}zu mathbb {R} ^{n}} ist eine stetige Funktion, die ungerade ist {Anzeigestil S^{n-1}} (die Grenze von {Anzeigestil B^{n}} ), dann existiert ein {Anzeigestil xin B^{n}} so dass: {Anzeigestil g(x)=0} . Inhalt 1 Geschichte 2 Äquivalente Aussagen 2.1 Mit ungeraden Funktionen 2.2 Mit Rückzügen 3 Beweise 3.1 1-dimensionaler Fall 3.2 Allgemeiner Fall 3.2.1 Algebraischer topologischer Beweis 3.2.2 Kombinatorischer Beweis 4 Folgerungen 5 Äquivalente Ergebnisse 6 Verallgemeinerungen 7 Siehe auch 8 Anmerkungen 9 Verweise 10 External links History According to Jiří Matoušek (2003, p. 25), the first historical mention of the statement of the Borsuk–Ulam theorem appears in Lyusternik & Shnirel'man (1930). The first proof was given by Karol Borsuk (1933), wo die Formulierung des Problems Stanislaw Ulam zugeschrieben wurde. Seit damals, Viele alternative Beweise wurden von verschiedenen Autoren gefunden, wie von Steinlein gesammelt (1985).

Equivalent statements The following statements are equivalent to the Borsuk–Ulam theorem.[1] With odd functions A function {Anzeigestil g} heißt ungerade (auch bekannt als antipodisch oder antipodenerhaltend) wenn für jeden {Anzeigestil x} : {Anzeigestil g(-x)=-g(x)} .

Das Borsuk-Ulam-Theorem entspricht der folgenden Aussage: Eine kontinuierliche ungerade Funktion von einer n-Sphäre in den euklidischen n-Raum hat eine Null. NACHWEISEN: Wenn der Satz stimmt, dann ist es speziell für ungerade Funktionen richtig, und für eine ungerade Funktion, {Anzeigestil g(-x)=g(x)} iff {Anzeigestil g(x)=0} . Also hat jede ungerade stetige Funktion eine Nullstelle. Für jede stetige Funktion {Anzeigestil f} , Die folgende Funktion ist stetig und ungerade: {Anzeigestil g(x)= f(x)-f(-x)} . Wenn jede ungerade stetige Funktion eine Nullstelle hat, dann {Anzeigestil g} hat eine Null, und deshalb, {Anzeigestil f(x)= f(-x)} . Also ist der Satz richtig. With retractions Define a retraction as a function {Anzeigestil h:S^{n}zu S^{n-1}.} Das Borsuk-Ulam-Theorem entspricht der folgenden Behauptung: es gibt kein kontinuierliches ungerades Zurückziehen.

Nachweisen: Wenn der Satz stimmt, dann jede stetige ungerade Funktion aus {Anzeigestil S^{n}} muss enthalten 0 in seiner Reichweite. Jedoch, {Anzeigestil 0notin S^{n-1}} es kann also keine stetige ungerade Funktion geben, deren Wertebereich ist {Anzeigestil S^{n-1}} .

Umgekehrt, wenn es falsch ist, dann gibt es eine stetige ungerade Funktion {Anzeigestil g:S^{n}zu {mathbb {R}}^{n}} ohne Nullen. Dann können wir eine weitere ungerade Funktion konstruieren {Anzeigestil h:S^{n}zu S^{n-1}} durch: {Anzeigestil h(x)={frac {g(x)}{|g(x)|}}} seit {Anzeigestil g} hat keine Nullen, {Anzeigestil h} ist wohldefiniert und kontinuierlich. Wir haben also eine kontinuierliche ungerade Retraktion.

Proofs 1-dimensional case The 1-dimensional case can easily be proved using the intermediate value theorem (IVT).

Lassen {Anzeigestil g} eine ungerade reellwertige stetige Funktion auf einem Kreis sein. Wählen Sie eine beliebige aus {Anzeigestil x} . Wenn {Anzeigestil g(x)=0} dann sind wir fertig. Andernfalls, ohne Verlust der Allgemeinheit, {Anzeigestil g(x)>0.} Aber {Anzeigestil g(-x)<0.} Hence, by the IVT, there is a point {displaystyle y} between {displaystyle x} and {displaystyle -x} at which {displaystyle g(y)=0} . General case Algebraic topological proof Assume that {displaystyle h:S^{n}to S^{n-1}} is an odd continuous function with {displaystyle n>2} (der Fall {Darstellungsstil n=1} wird oben behandelt, der Fall {Darstellungsstil n=2} kann mit grundlegender Überdeckungstheorie gehandhabt werden). Durch den Übergang in Umlaufbahnen unter der antipodischen Wirkung, wir erhalten dann eine induzierte stetige Funktion {Anzeigestil h':mathbb {RP} ^{n}zu mathbb {RP} ^{n-1}} zwischen realen projektiven Räumen, was einen Isomorphismus auf Fundamentalgruppen induziert. Nach dem Satz von Hurewicz, der induzierte Ringhomomorphismus auf Kohomologie mit {Anzeigestil mathbb {F} _{2}} Koeffizienten [wo {Anzeigestil mathbb {F} _{2}} bezeichnet das Feld mit zwei Elementen], {Anzeigestil mathbb {F} _{2}[a]/ein^{n+1}=H^{*}links(mathbb {RP} ^{n};mathbb {F} _{2}Rechts)Pfeil nach links H^{*}links(mathbb {RP} ^{n-1};mathbb {F} _{2}Rechts)=mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},} sendet {Anzeigestil b} zu {Anzeigestil a} . Aber das kriegen wir dann hin {Anzeigestil b^{n}=0} gesendet wird {Anzeigestil a^{n}neq 0} , ein Widerspruch.[2] Man kann auch die stärkere Aussage zeigen, dass jede ungerade Karte {Anzeigestil S^{n-1}zu S^{n-1}} hat ungeraden Grad und leite dann den Satz aus diesem Ergebnis ab.

Combinatorial proof The Borsuk–Ulam theorem can be proved from Tucker's lemma.[1][3][4] Lassen {Anzeigestil g:S^{n}zu mathbb {R} ^{n}} eine stetige ungerade Funktion sein. Weil g auf einem kompakten Gebiet stetig ist, es ist gleichmäßig stetig. Deswegen, für jeden {displaystyle epsilon >0} , da ist ein {displaystyle delta >0} so dass, für je zwei Punkte von {Anzeigestil S_{n}} die drin sind {Anzeigestil-Delta } von einander, ihre Bilder unter g sind innerhalb {Anzeigestil epsilon } von einander.

Definiere eine Triangulation von {Anzeigestil S_{n}} mit höchstens langen Kanten {Anzeigestil-Delta } . Beschriften Sie jeden Scheitelpunkt {Anzeigestil v} der Triangulation mit einem Label {Anzeigestil l(v)in {Uhr 13, Uhr 2, ldots ,Uhr n}} auf die folgende Weise: Der Absolutwert des Labels ist der Index der Koordinate mit dem höchsten Absolutwert von g: {Anzeigestil |l(v)|=arg max _{k}(|g(v)_{k}|)} . Das Zeichen des Labels ist das Zeichen von g, so dass: {Anzeigestil l(v)= Betreibername {Zeichen}(g(v))|l(v)|} .

Weil g ungerade ist, Die Beschriftung ist auch seltsam: {Anzeigestil l(-v)=-l(v)} . Somit, nach Tuckers Lemma, es gibt zwei benachbarte Ecken {Anzeigestil u,v} mit gegenüberliegenden Etiketten. Angenommen w.l.o.g. dass die Etiketten sind {Anzeigestil l(u)=1,l(v)=-1} . Nach der Definition von l, das bedeutet in beiden {Anzeigestil g(u)} und {Anzeigestil g(v)} , Koordinate #1 ist die größte Koordinate: in {Anzeigestil g(u)} diese Koordinate ist positiv, während sie in ist {Anzeigestil g(v)} es ist negativ. Durch die Konstruktion der Triangulation, der Abstand zwischen {Anzeigestil g(u)} und {Anzeigestil g(v)} ist höchstens {Anzeigestil epsilon } , also insbesondere {Anzeigestil |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|leq epsilon } (seit {Anzeigestil g(u)_{1}} und {Anzeigestil g(v)_{1}} entgegengesetzte Vorzeichen haben) und so {Anzeigestil |g(u)_{1}|leq epsilon } . Aber da die größte Koordinate von {Anzeigestil g(u)} ist Koordinate #1, das bedeutet, dass {Anzeigestil |g(u)_{k}|leq epsilon } für jeden {displaystyle 1leg kleg n} . So {Anzeigestil |g(u)|leq c_{n}Epsilon } , wo {Anzeigestil c_{n}} ist einige konstante abhängig von {Anzeigestil n} und die Norm {Anzeigestil |cdot |} die Sie gewählt haben.

Das oben Gesagte gilt für alle {displaystyle epsilon >0} ; seit {Anzeigestil S_{n}} kompakt ist, muss es also einen Punkt u geben, in dem {Anzeigestil |g(u)|=0} .

Folgerungen Keine Teilmenge von {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} ist homöomorph zu {Anzeigestil S^{n}} Das Ham-Sandwich-Theorem: Für alle Kompaktsets A1, ..., Ein in {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} wir können immer eine Hyperebene finden, die jede von ihnen in zwei gleich große Teilmengen teilt. Equivalent results Above we showed how to prove the Borsuk–Ulam theorem from Tucker's lemma. Auch die Umkehrung gilt: Es ist möglich, das Lemma von Tucker aus dem Satz von Borsuk-Ulam zu beweisen. Deswegen, diese beiden Sätze sind äquivalent. Es gibt mehrere Fixpunktsätze, die in drei äquivalenten Varianten vorliegen: eine algebraische Topologievariante, eine kombinatorische Variante und eine Set-Covering-Variante. Jede Variante kann separat mit völlig unterschiedlichen Argumenten bewiesen werden, jede Variante kann aber auch auf die anderen Varianten in ihrer Reihe reduziert werden. Zusätzlich, jedes Ergebnis in der obersten Reihe kann von dem darunter in derselben Spalte abgeleitet werden.[5] Algebraic topology Combinatorics Set covering Brouwer fixed-point theorem Sperner's lemma Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma Borsuk–Ulam theorem Tucker's lemma Lusternik–Schnirelmann theorem Generalizations In the original theorem, der Definitionsbereich der Funktion f ist die Einheits-n-Sphäre (die Grenze der Einheit n-Ball). Im Algemeinen, es gilt auch, wenn der Definitionsbereich von f die Grenze einer beliebigen offenen, begrenzten, symmetrischen Teilmenge von ist {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} den Ursprung enthalten (Hier, symmetrisch bedeutet, wenn x in der Teilmenge ist, dann ist -x auch in der Teilmenge).[6] Betrachten Sie die Funktion A, die einen Punkt auf seinen Antipodenpunkt abbildet: {Anzeigestil A(x)=-x.} Beachten Sie, dass {Anzeigestil A(EIN(x))=x.} Der ursprüngliche Satz besagt, dass es einen Punkt x gibt, in dem {Anzeigestil f(EIN(x))= f(x).} Im Algemeinen, dies gilt auch für jede Funktion A für die {Anzeigestil A(EIN(x))=x.} [7] Jedoch, im Allgemeinen gilt dies nicht für andere Funktionen A.[8] Siehe auch Topologische Kombinatorik Problem des Aufteilens von Halsketten Ham-Sandwich-Theorem Theorem von Kakutani (Geometrie) Imre Bárány Notizen ^ Hochspringen zu: a b Prescott, Timotheus (2002). "Erweiterungen des Satzes von Borsuk-Ulam (These)". Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120. ^ Josef J. Rotmann, Eine Einführung in die algebraische Topologie (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Siehe Kapitel 12 für eine vollständige Ausstellung.) ^ Freund, Robert m; Todd, Michael J (1982). "Ein konstruktiver Beweis von Tuckers kombinatorischem Lemma". Zeitschrift für kombinatorische Theorie, Serie A. 30 (3): 321–325. doi:10.1016/0097-3165(81)90027-3. ^ Simons, Wald W.; Sie sind, Franz Edward (2003). "Konsenshalbierung über Theoreme von Borsuk-Ulam und Tucker". Mathematische Sozialwissenschaften. 45: 15–25. doi:10.1016/s0165-4896(02)00087-2. hdl:10419/94656. ^ Nymann, Kathrin L.; Sie sind, Franz Edward (2013), "Ein Borsuk-Ulam-Äquivalent, das Sperners Lemma direkt impliziert", American Mathematical Monthly, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, HERR 3035127 ^ "Fixpunktsatz von Borsuk", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994] ^ Yang, Chung-Tao (1954). "Über Sätze von Borsuk-Ulam, Es gibt keinen Ort wie zu Hause - Job und Dyson, ich". Annalen der Mathematik. 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632. ^ Jens Reinhold, Faisal; Sergej Iwanow. "Verallgemeinerung von Borsuk-Ulam". Mathe-Überlauf. Abgerufen 18 Kann 2015. Referenzen Borsuk, Karl (1933). "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" (Pdf). Grundlagen der Mathematik (auf Deutsch). 20: 177–190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190. Lusternik, Lazar; Shnirel'man, Lew (1930). "Topologische Methoden in Variationsproblemen". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U. Moskau. Matousek, George (2003). Unter Verwendung des Satzes von Borsuk-Ulam. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5. Steinlein, H. (1985). "Borsuks Antipodensatz und seine Verallgemeinerungen und Anwendungen: eine Umfrage. Topologische Methoden in der nichtlinearen Analyse". Sém. Mathematik. Super. Montreal, Sém. Wissenschaft. ICH WERDE NEHMEN (NATO Adv. Studieninst.). 95: 166–235. Sie sind, Franz Edward (Nov 1997). "Borsuk-Ulam impliziert Brauer: Eine direkte Konstruktion" (Pdf). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Vom Original archiviert (Pdf) an 2008-10-13. Abgerufen 2006-04-21. Externe Links Wer (anders) kümmert sich um die Topologie? Gestohlene Halsketten und Borsuk-Ulam in den YouTube-Kategorien: Fixpunkte (Mathematik)Algebraische TopologieKombinatorikKontinuierliche AbbildungenTheoreme in der Topologie