Teorema de Borel-Weil-Bott

Teorema de Borel-Weil-Bott (Redirecionado do teorema de Borel-Weil) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em matemática, o teorema de Borel-Weil-Bott é um resultado básico na teoria da representação de grupos de Lie, mostrando como uma família de representações pode ser obtida a partir de seções holomórficas de certos fibrados vetoriais complexos, e, De forma geral, de grupos de cohomologia de feixes superiores associados a tais feixes. É construído sobre o anterior teorema Borel-Weil de Armand Borel e André Weil, lidando apenas com o espaço das seções (o grupo de cohomologia zero), a extensão para grupos de cohomologia superior sendo fornecida por Raoul Bott. Pode-se equivalentemente, através do GAGA de Serre, veja isso como resultado em geometria algébrica complexa na topologia Zariski.

Conteúdo 1 Formulação 2 Exemplo 3 Característica positiva 4 Teorema de Borel-Weil 4.1 Declaração do teorema 4.2 Descrição concreta 4.3 Exemplo 5 Veja também 6 Notas 7 Referências 8 Further reading Formulation Let G be a semisimple Lie group or algebraic group over {estilo de exibição mathbb {C} } , e fixar um toro máximo T junto com um subgrupo B de Borel que contém T. Seja λ um peso integral de T; λ define de forma natural uma representação unidimensional Cλ de B, puxando para trás a representação em T = B/U, onde U é o radical unipotente de B. Como podemos pensar no mapa de projeção G → G/B como um pacote B principal, para cada Cλ obtemos um pacote de fibras associado L−λ em G/B (observe o sinal), que é obviamente um pacote de linhas. Identificando Lλ com seu feixe de seções holomórficas, consideramos os grupos de cohomologia de feixe {estilo de exibição H^{eu}(G/B,,EU_{lambda })} . Como G atua no espaço total do pacote {estilo de exibição L_{lambda }} por automorfismos de pacote, esta ação naturalmente dá uma estrutura de módulo G nesses grupos; e o teorema de Borel-Weil-Bott dá uma descrição explícita desses grupos como G-módulos.

Primeiro precisamos descrever a ação do grupo Weyl centrada em {estilo de exibição -rho } . Para qualquer peso integral λ e w no grupo Weyl W, montamos {estilo de exibição em * lambda :=w(lambda +rho )-rho ,} , onde ρ denota a meia-soma das raízes positivas de G. É simples verificar se isso define uma ação de grupo, embora esta ação não seja linear, ao contrário da ação usual do grupo Weyl. Também, um peso μ é dito dominante se {mostre o estilo dele (alfa ^{v })geq 0} para todas as raízes simples α. Seja ℓ a função comprimento em W.

Dado um peso integral λ, um dos dois casos ocorre: Não há {vinhos de estilo de exibição W.} de tal modo que {estilo de exibição em * lambda } é dominante, equivalentemente, existe uma não identidade {vinhos de estilo de exibição W.} de tal modo que {estilo de exibição w * lambda = lambda } ; ou há um único {vinhos de estilo de exibição W.} de tal modo que {estilo de exibição em * lambda } é dominante.

O teorema afirma que no primeiro caso, temos {estilo de exibição H^{eu}(G/B,,EU_{lambda })=0} para todos eu; e no segundo caso, temos {estilo de exibição H^{eu}(G/B,,EU_{lambda })=0} para todos {displaystyle ineq ell (W)} , enquanto {estilo de exibição H^{bem (W)}(G/B,,EU_{lambda })} é o dual da representação irredutível de maior peso de G com maior peso {estilo de exibição em * lambda } .

Vale a pena notar esse caso (1) acima ocorre se e somente se {estilo de exibição (lambda +rho )(beta ^{v })=0} para alguma raiz positiva β. Também, obtemos o teorema clássico de Borel-Weil como um caso especial deste teorema tomando λ como dominante e w como o elemento identidade {estilo de exibição a W} .

Example For example, considere G = SL2(C), para a qual G/B é a esfera de Riemann, um peso integral é especificado simplesmente por um inteiro n, e ρ = 1. O feixe de linhas Ln é {estilo de exibição {matemática {O}}(n)} , cujas seções são os polinômios homogêneos de grau n (ou seja. as formas binárias). Como uma representação de G, as seções podem ser escritas como Symn(C2)*, e é canonicamente isomorfo a Symn(C2).

Isso nos dá de uma só vez a teoria da representação de {estilo de exibição {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} : {displaystyle Gama ({matemática {O}}(1))} é a representação padrão, e {displaystyle Gama ({matemática {O}}(n))} é sua enésima potência simétrica. Temos até uma descrição unificada da ação da álgebra de Lie, derivado de sua realização como campos vetoriais na esfera de Riemann: se H, X, Y são os geradores padrão de {estilo de exibição {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} , então {estilo de exibição {começar{alinhado}H&=x{fratura {d}{dx}}-y{fratura {d}{dy}},\[5pt]X&=x{fratura {d}{dy}},\[5pt]Y&=y{fratura {d}{dx}}.fim{alinhado}}} Outras informações: Jordan map Positive characteristic One also has a weaker form of this theorem in positive characteristic. Nomeadamente, seja G um grupo algébrico semisimples sobre um corpo algebricamente fechado de característica {displaystyle p>0} . Então continua sendo verdade que {estilo de exibição H^{eu}(G/B,,EU_{lambda })=0} para todo i se λ é um peso tal que {estilo de exibição em * lambda } é não dominante para todos {vinhos de estilo de exibição W.} desde que λ seja "perto de zero".[1] Isso é conhecido como o teorema de fuga de Kempf. No entanto, as outras declarações do teorema não permanecem válidas nesta configuração.

Mais explicitamente, seja λ um peso integral dominante; então ainda é verdade que {estilo de exibição H^{eu}(G/B,,EU_{lambda })=0} para todos {displaystyle i>0} , mas não é mais verdade que este módulo G é simples em geral, embora contenha o módulo único de maior peso de maior peso λ como um submódulo G. Se λ é um peso integral arbitrário, é de fato um grande problema não resolvido na teoria da representação para descrever os módulos de cohomologia {estilo de exibição H^{eu}(G/B,,EU_{lambda })} no geral. Ao contrário de mais {estilo de exibição mathbb {C} } , Mumford deu um exemplo mostrando que não precisa ser o caso para um λ fixo que esses módulos são todos zero, exceto em um único grau i.

Borel–Weil theorem The Borel–Weil theorem provides a concrete model for irreducible representations of compact Lie groups and irreducible holomorphic representations of complex semisimple Lie groups. Essas representações são realizadas nos espaços de seções globais de fibrados holomórficos de linha no coletor de bandeiras do grupo. O teorema de Borel-Weil-Bott é a sua generalização para espaços de cohomologia superior. The theorem dates back to the early 1950s and can be found in Serre & 1951-4 e seios (1955).

Statement of the theorem The theorem can be stated either for a complex semisimple Lie group G or for its compact form K. Seja G um grupo de Lie complexo semisimples conexo, B um subgrupo Borel de G, e X = G/B a variedade de bandeiras. Neste cenário, X é uma variedade complexa e uma variedade G algébrica não singular. A variedade bandeira também pode ser descrita como um espaço compacto homogêneo K/T, onde T = K ∩ B é um (compactar) Subgrupo Cartan de K. Um peso integral λ determina um fibrado de linha holomórfico G-equivariante Lλ em X e o grupo G atua em seu espaço de seções globais, {displaystyle Gama (G/B,EU_{lambda }). } O teorema de Borel-Weil afirma que se λ é um peso integral dominante, então esta representação é uma representação de peso mais alto irredutível holomórfica de G com peso mais alto λ. Sua restrição a K é uma representação unitária irredutível de K com maior peso λ, e cada representação unitária irredutível de K é obtida desta forma para um único valor de λ. (Uma representação holomórfica de um grupo de Lie complexo é aquela para a qual a representação de álgebra de Lie correspondente é linear complexa.) Concrete description The weight λ gives rise to a character (representação unidimensional) do subgrupo B do Borel, que é denotado χλ. Seções holomórficas do feixe de linhas holomórficas Lλ sobre G/B podem ser descritas mais concretamente como mapas holomórficos {estilo de exibição f:Gto mathbb {C} _{lambda }:f(gb)=chi_{lambda }(b^{-1})f(g)} para todo g ∈ G e b ∈ B.

A ação de G nestas seções é dada por {displaystyle gcdot f(h)=f(g^{-1}h)} para g, h ∈ G.

Example Let G be the complex special linear group SL(2, C), com um subgrupo de Borel composto por matrizes triangulares superiores com determinante um. Os pesos integrais para G podem ser identificados com inteiros, com pesos dominantes correspondentes a inteiros não negativos, e os caracteres correspondentes χn de B têm a forma {estilo de exibição chi _{n}{começar{pmatrix}a&b\0&a^{-1}fim{pmatrix}}=a^{n}.} A variedade de bandeira G/B pode ser identificada com a linha projetiva complexa CP1 com coordenadas homogêneas X, Y e o espaço das seções globais do fibrado de linhas Ln é identificado com o espaço de polinômios homogêneos de grau n em C2. Para n ≥ 0, este espaço tem dimensão n + 1 e forma uma representação irredutível sob a ação padrão de G na álgebra polinomial C[X, S]. Os vetores de peso são dados por monômios {estilo de exibição X^{eu}S^{n-i},quad 0leq ileq n} de pesos 2i − n, e o vetor de maior peso Xn tem peso n.

Veja também Teorema do maior peso Notas ^ Jantzen, Jens Carsten (2003). Representações de grupos algébricos (second ed.). Sociedade Americana de Matemática. ISBN 978-0-8218-3527-2. Referências Fulton, William; Harris, João (1991). Teoria da representação. Um primeiro curso. Textos de Graduação em Matemática, Leituras em matemática. Volume. 129. Nova york: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SENHOR 1153249. OCLC 246650103.. Bengala, Roberto J.; Eastwood, Michael G. (1989), A Transformação de Penrose: sua Interação com a Teoria da Representação, imprensa da Universidade de Oxford. (reimpresso por Dover) "Teorema de Bott-Borel-Weil", Enciclopédia de Matemática, Imprensa EMS, 2001 [1994] Uma prova do teorema de Borel-Weil-Bott, por Jacob Lurie. Recuperado em julho. 13, 2014. Apertado, Jean Pierre (1954) [1951], "Representações lineares e espaços de Kähler homogêneos de grupos de Lie compactos (depois de Armand Borel e André Weil)", Seminário Bourbaki, 2 (100): 447-454. Em francês; título traduzido: "Representações lineares e espaços homogêneos de Kähler de grupos de Lie compactos (depois de Armand Borel e André Weil)." Peitos, Jacques (1955), Em certas classes de espaços homogêneos de grupos de Lie, Acad. Roy. Bélgica. Cl. Sci. Eu tenho. Col., volume. 29 Em francês. Sepanski, Marca R. (2007), Grupos compactos de mentiras., Textos de Graduação em Matemática, volume. 235, Nova york: Springer, ISBN 9780387302638. Knapp, Anthony W. (2001), Teoria da representação de grupos semisimples: Uma visão geral baseada em exemplos, Marcos de Princeton em Matemática, Princeton, Nova Jersey: Imprensa da Universidade de Princeton. Reimpressão do 1986 original. Leitura adicional Teleman, Constantino (1998). "Teoria de Borel-Weil-Bott na pilha de módulos de G-bundles sobre uma curva". Descobertas matemáticas. 134 (1): 1-57. doi:10.1007/s002220050257. SENHOR 1646586.

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