Teorema di Borel-Weil-Bott

Teorema di Borel-Weil-Bott (Reindirizzato da Teorema di Borel-Weil) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In matematica, il teorema di Borel-Weil-Bott è un risultato fondamentale nella teoria della rappresentazione dei gruppi di Lie, mostrando come una famiglia di rappresentazioni può essere ottenuta da sezioni olomorfe di determinati fasci vettoriali complessi, e, più generalmente, da gruppi di coomologia di covoni superiori associati a tali fasci. È costruito sul precedente teorema di Borel-Weil di Armand Borel e André Weil, occupandosi solo dello spazio delle sezioni (il gruppo di coomologia zero), l'estensione a gruppi di coomologia superiore fornita da Raoul Bott. Uno può equivalentemente, attraverso GAGA di Serre, vedere questo come risultato di una geometria algebrica complessa nella topologia di Zariski.

Contenuti 1 Formulazione 2 Esempio 3 Caratteristica positiva 4 Teorema di Borel-Weil 4.1 Enunciato del teorema 4.2 Descrizione concreta 4.3 Esempio 5 Guarda anche 6 Appunti 7 Riferimenti 8 Further reading Formulation Let G be a semisimple Lie group or algebraic group over {displaystyle mathbb {C} } , e fissare un toro massimo T insieme a un sottogruppo Borel B che contiene T. Sia λ un peso integrale di T; λ definisce in modo naturale una rappresentazione unidimensionale Cλ di B, tirando indietro la rappresentazione su T = B/U, dove U è il radicale unipotente di B. Dal momento che possiamo pensare alla mappa di proiezione G → G/B come un B-bundle principale, per ogni Cλ otteniamo un fascio di fibre associato L−λ su G/B (nota il segno), che è ovviamente un fascio di linee. Identificazione di Lλ con il suo fascio di sezioni olomorfe, consideriamo i gruppi di coomologia dei covoni {stile di visualizzazione H^{io}(G/B,,L_{lambda })} . Poiché G agisce sullo spazio totale del fascio {stile di visualizzazione L_{lambda }} da automorfismi a fascio, questa azione dà naturalmente una struttura del modulo G su questi gruppi; e il teorema di Borel-Weil-Bott fornisce una descrizione esplicita di questi gruppi come moduli G.

Dobbiamo prima descrivere l'azione del gruppo Weyl incentrata su {displaystyle -rho } . Per qualsiasi peso integrale λ e w nel gruppo Weyl W, prepariamo {displaystyle in * lambda :=w(lambda +rho )-rho ,} , dove ρ indica la semisomma delle radici positive di G. È semplice verificare che questo definisca un'azione di gruppo, sebbene questa azione non sia lineare, a differenza della solita azione di gruppo Weyl. Anche, un peso μ si dice dominante se {displaystyle lui (alfa ^{v })geq 0} per tutte le radici semplici α. Sia ℓ la funzione di lunghezza su W.

Dato un peso integrale λ, si verifica uno dei due casi: Non c'è {vini da esposizione W.} tale che {displaystyle in * lambda } è dominante, equivalentemente, esiste una non identità {vini da esposizione W.} tale che {displaystyle w * lambda = lambda } ; o C'è un unico {vini da esposizione W.} tale che {displaystyle in * lambda } è dominante.

Il teorema afferma che nel primo caso, noi abbiamo {stile di visualizzazione H^{io}(G/B,,L_{lambda })=0} per tutti i; e nel secondo caso, noi abbiamo {stile di visualizzazione H^{io}(G/B,,L_{lambda })=0} per tutti {displaystyle ineq ell (w)} , mentre {stile di visualizzazione H^{ell (w)}(G/B,,L_{lambda })} è il duale della rappresentazione irriducibile di peso massimo di G con peso massimo {displaystyle in * lambda } .

Vale la pena notare quel caso (1) sopra si verifica se e solo se {stile di visualizzazione (lambda +rho )(beta ^{v })=0} per qualche radice positiva β. Anche, otteniamo il classico teorema di Borel-Weil come caso speciale di questo teorema assumendo λ come dominante e w come elemento di identità {stile di visualizzazione a W} .

Example For example, considera G = SL2(C), per cui G/B è la sfera di Riemann, un peso intero è specificato semplicemente da un intero n, e ρ = 1. Il fascio di linee Ln è {stile di visualizzazione {matematico {o}}(n)} , le cui sezioni sono i polinomi omogenei di grado n (cioè. le forme binarie). In rappresentanza di G, le sezioni possono essere scritte come Symn(C2)*, ed è canonicamente isomorfo a Symn(C2).

Questo ci dà in un colpo solo la teoria della rappresentazione di {stile di visualizzazione {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} : {stile di visualizzazione Gamma ({matematico {o}}(1))} è la rappresentazione standard, e {stile di visualizzazione Gamma ({matematico {o}}(n))} è la sua ennesima potenza simmetrica. Abbiamo anche una descrizione unificata dell'azione dell'algebra di Lie, derivato dalla sua realizzazione come campi vettoriali sulla sfera di Riemann: se H, X, Y sono i generatori standard di {stile di visualizzazione {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} , poi {stile di visualizzazione {inizio{allineato}H&=x{frac {d}{dx}}-y{frac {d}{dio}},\[5pt]X&=x{frac {d}{dio}},\[5pt]Y&=y{frac {d}{dx}}.fine{allineato}}} Ulteriori informazioni: Jordan map Positive characteristic One also has a weaker form of this theorem in positive characteristic. Vale a dire, sia G un gruppo algebrico semisemplice su un campo caratteristico algebricamente chiuso {displaystyle p>0} . Allora resta vero {stile di visualizzazione H^{io}(G/B,,L_{lambda })=0} per tutti i se λ è un peso tale che {displaystyle in * lambda } è non dominante per tutti {vini da esposizione W.} fintanto che λ è "vicino a zero".[1] Questo è noto come il teorema di scomparsa di Kempf. Tuttavia, le altre affermazioni del teorema non rimangono valide in questo contesto.

Più esplicitamente, sia λ un peso integrale dominante; allora è ancora vero {stile di visualizzazione H^{io}(G/B,,L_{lambda })=0} per tutti {displaystyle i>0} , ma non è più vero che questo modulo G è semplice in generale, sebbene contenga l'unico modulo di peso più alto del peso più alto λ come sottomodulo G. Se λ è un peso integrale arbitrario, è infatti un grande problema irrisolto nella teoria della rappresentazione per descrivere i moduli di coomologia {stile di visualizzazione H^{io}(G/B,,L_{lambda })} in generale. A differenza di oltre {displaystyle mathbb {C} } , Mumford ha fornito un esempio che mostra che non è necessario che per un λ fisso questi moduli siano tutti zero tranne che in un solo grado i.

Borel–Weil theorem The Borel–Weil theorem provides a concrete model for irreducible representations of compact Lie groups and irreducible holomorphic representations of complex semisimple Lie groups. Queste rappresentazioni sono realizzate negli spazi delle sezioni globali dei fasci di linee olomorfe sul collettore a bandiera del gruppo. Il teorema di Borel-Weil-Bott è la sua generalizzazione a spazi di coomologia superiori. The theorem dates back to the early 1950s and can be found in Serre & 1951-4 e Tette (1955).

Statement of the theorem The theorem can be stated either for a complex semisimple Lie group G or for its compact form K. Sia G un gruppo di Lie semisemplice complesso connesso, B a Borel sottogruppo di G, e X = G/B la varietà bandiera. In questo scenario, X è una varietà complessa e una varietà G algebrica non singolare. La varietà bandiera può anche essere descritta come uno spazio compatto omogeneo K/T, dove T = K ∩ B è a (compatto) Sottogruppo Cartan di K. Un peso integrale λ determina un fascio di linee olomorfe G-equivalente Lλ su X e il gruppo G agisce sul suo spazio di sezioni globali, {stile di visualizzazione Gamma (G/B,L_{lambda }). } Il teorema di Borel-Weil afferma che se λ è un peso integrale dominante, questa rappresentazione è una rappresentazione olomorfa del peso più alto irriducibile di G con il peso più alto λ. La sua restrizione a K è una rappresentazione unitaria irriducibile di K con il massimo peso λ, ed ogni rappresentazione unitaria irriducibile di K si ottiene così per un valore unico di λ. (Una rappresentazione olomorfa di un gruppo di Lie complesso è quella per la quale la corrispondente rappresentazione dell'algebra di Lie è lineare complessa.) Concrete description The weight λ gives rise to a character (rappresentazione unidimensionale) del sottogruppo Borel B, che è indicato con χλ. Le sezioni olomorfe del fascio di linee olomorfe Lλ su G/B possono essere descritte più concretamente come mappe olomorfe {stile di visualizzazione f:Gto matematicabb {C} _{lambda }:f(gb)=chi _{lambda }(b^{-1})f(g)} per tutti g ∈ G e b ∈ B.

L'azione di G su queste sezioni è data da {displaystyle gcdot f(h)=f(g^{-1}h)} per g, h ∈ G.

Example Let G be the complex special linear group SL(2, C), con un sottogruppo Borel costituito da matrici triangolari superiori con determinante. I pesi integrali per G possono essere identificati con numeri interi, con pesi dominanti corrispondenti a interi non negativi, ei corrispondenti caratteri χn di B hanno la forma {stile di visualizzazione chi _{n}{inizio{pmatrice}a&b\0&a^{-1}fine{pmatrice}}=a^{n}.} La varietà bandiera G/B può essere identificata con la linea proiettiva complessa CP1 a coordinate omogenee X, Y e lo spazio delle sezioni globali del fascio lineare Ln è identificato con lo spazio dei polinomi omogenei di grado n su C2. Per n ≥ 0, questo spazio ha dimensione n + 1 e forma una rappresentazione irriducibile sotto l'azione standard di G sull'algebra polinomiale C[X, Y]. I vettori di peso sono dati da monomi {stile di visualizzazione X^{io}Y^{n-io},quad 0leq ileq n} di pesi 2i − n, e il vettore di peso più alto Xn ha peso n.

Vedi anche Teorema del peso massimo Note ^ Jantzen, Jens Carsten (2003). Rappresentazioni di gruppi algebrici (second ed.). Società matematica americana. ISBN 978-0-8218-3527-2. Riferimenti Fulton, William; Harris, Gio (1991). Teoria della rappresentazione. Un primo piatto. Testi di laurea in Matematica, Letture in Matematica. vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SIG 1153249. OCLC 246650103.. Bastone da passeggio, Robert J.; Eastwood, Michele G. (1989), La trasformazione di Penrose: la sua interazione con la teoria della rappresentazione, la stampa dell'università di Oxford. (ristampato da Dover) "Teorema di Bott-Borel-Weil", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] Una dimostrazione del teorema di Borel-Weil-Bott, di Jacob Lurie. Estratto il lug. 13, 2014. Stretto, JeanPierre (1954) [1951], "Rappresentazioni lineari e spazi di Kähler omogenei di gruppi di Lie compatti (dopo Armand Borel e André Weil)", Seminario Bourbaki, 2 (100): 447–454. In francese; titolo tradotto: "Rappresentazioni lineari e spazi omogenei di Kähler di gruppi di Lie compatti (dopo Armand Borel e André Weil)." Tette, Giacomo (1955), Su certe classi di spazi omogenei di gruppi di Lie, Accad. Roy. Belgio. cl. Sci. io ho. coll., vol. 29 In francese. Sepanski, Marco R. (2007), Gruppi di Lie Compatti., Testi di laurea in Matematica, vol. 235, New York: Springer, ISBN 9780387302638. Knapp, Anthony W. (2001), Teoria della rappresentazione di gruppi semisemplici: Una panoramica basata su esempi, Punti di riferimento di Princeton in matematica, Princeton, NJ: Stampa dell'Università di Princeton. Ristampa del 1986 originale. Ulteriori letture Teleman, Costantino (1998). "Teoria di Borel-Weil-Bott sullo stack di moduli di G-bundle su una curva". Scoperte matematiche. 134 (1): 1–57. doi:10.1007/s002220050257. SIG 1646586.

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