Théorème de Borel-Weil-Bott

Théorème de Borel-Weil-Bott (Redirigé à partir du théorème de Borel-Weil) Aller à la navigation Aller à la recherche En mathématiques, le théorème de Borel – Weil – Bott est un résultat fondamental de la théorie de la représentation des groupes de Lie, montrant comment une famille de représentations peut être obtenue à partir de sections holomorphes de certains faisceaux vectoriels complexes, et, plus généralement, à partir de groupes de cohomologie de faisceaux supérieurs associés à de tels faisceaux. Il est construit sur le théorème Borel-Weil antérieur d' Armand Borel et André Weil, traitant uniquement de l'espace des sections (le groupe de cohomologie zéro), l'extension aux groupes de cohomologie supérieure étant assurée par Raoul Bott. On peut de manière équivalente, à travers GAGA de Serre, voir cela comme un résultat dans la géométrie algébrique complexe dans la topologie de Zariski.

Contenu 1 Formulation 2 Exemple 3 Caractéristique positive 4 Théorème de Borel-Weil 4.1 Énoncé du théorème 4.2 Descriptif concret 4.3 Exemple 5 Voir également 6 Remarques 7 Références 8 Further reading Formulation Let G be a semisimple Lie group or algebraic group over {style d'affichage mathbb {C} } , et fixons un tore maximal T avec un sous-groupe de Borel B qui contient T. Soit λ un poids entier de T; λ définit de manière naturelle une représentation unidimensionnelle Cλ de B, en retirant la représentation sur T = B/U, où U est le radical unipotent de B. Puisque nous pouvons considérer la carte de projection G → G/B comme un B-faisceau principal, pour chaque Cλ on obtient un faisceau de fibres associé L−λ sur G/B (notez le signe), qui est évidemment un faisceau de lignes. Identifier Lλ avec son faisceau de sections holomorphes, on considère les groupes de cohomologie des faisceaux {style d'affichage H^{je}(G/B,,L_{lambda })} . Puisque G agit sur l'espace total du fibré {displaystyle L_{lambda }} par automorphismes de faisceaux, cette action donne naturellement une structure G-module sur ces groupes; et le théorème de Borel – Weil – Bott donne une description explicite de ces groupes sous forme de G-modules.

Il nous faut d'abord décrire l'action du groupe Weyl centrée sur {style d'affichage -rho } . Pour tout poids entier λ et w dans le groupe de Weyl W, nous fixons {style d'affichage en * lambda :=w(lambda + rhô )-Rho ,} , où ρ désigne la demi-somme des racines positives de G. Il est simple de vérifier que cela définit une action de groupe, bien que cette action ne soit pas linéaire, contrairement à l'action habituelle du groupe Weyl. Aussi, un poids μ est dit dominant si {style d'affichage lui (Alpha ^{vé })gq 0} pour toute racine simple α. Soit ℓ la fonction de longueur sur W.

Étant donné un poids entier λ, un cas sur deux se produit: Il n'y a pas {vins de présentation W.} tel que {style d'affichage en * lambda } est dominant, de manière équivalente, il existe une non-identité {vins de présentation W.} tel que {style d'affichage w * lambda = lambda } ; ou Il existe un unique {vins de présentation W.} tel que {style d'affichage en * lambda } est dominant.

Le théorème dit que dans le premier cas, Nous avons {style d'affichage H^{je}(G/B,,L_{lambda })=0} pour tout je; et dans le second cas, Nous avons {style d'affichage H^{je}(G/B,,L_{lambda })=0} pour tous {style d'affichage ineq ell (w)} , tandis que {style d'affichage H^{aune (w)}(G/B,,L_{lambda })} est le dual de la représentation irréductible de poids le plus élevé de G avec le poids le plus élevé {style d'affichage en * lambda } .

Il convient de noter ce cas (1) ci-dessus se produit si et seulement si {style d'affichage (lambda + rhô )(bêta ^{vé })=0} pour une racine β positive. Aussi, on obtient le théorème classique de Borel-Weil comme cas particulier de ce théorème en prenant λ comme dominant et w comme élément d'identité {style d'affichage un W} .

Example For example, considérer G = SL2(C), pour laquelle G/B est la sphère de Riemann, un poids entier est spécifié simplement par un entier n, et ρ = 1. Le faisceau de lignes Ln est {style d'affichage {mathématique {O}}(n)} , dont les sections sont les polynômes homogènes de degré n (c'est à dire. les formes binaires). En tant que représentation de G, les sections peuvent être écrites comme Symn(C2)*, et est canoniquement isomorphe à Symn(C2).

Cela nous donne d'un coup la théorie de la représentation de {style d'affichage {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} : {style d'affichage Gamma ({mathématique {O}}(1))} est la représentation standard, et {style d'affichage Gamma ({mathématique {O}}(n))} est sa nième puissance symétrique. On a même une description unifiée de l'action de l'algèbre de Lie, dérivé de sa réalisation sous forme de champs de vecteurs sur la sphère de Riemann: si H, X, Y sont les générateurs standards de {style d'affichage {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} , alors {style d'affichage {commencer{aligné}H&=x{frac {ré}{dx}}-y{frac {ré}{mourir}},\[5pt]X&=x{frac {ré}{mourir}},\[5pt]Y&=y{frac {ré}{dx}}.fin{aligné}}} Plus d'informations: Jordan map Positive characteristic One also has a weaker form of this theorem in positive characteristic. À savoir, soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps algébriquement clos de caractéristique {displaystyle p>0} . Alors il reste vrai que {style d'affichage H^{je}(G/B,,L_{lambda })=0} pour tout i si λ est un poids tel que {style d'affichage en * lambda } est non dominant pour tous {vins de présentation W.} tant que λ est "proche de zéro".[1] C'est ce qu'on appelle le théorème de disparition de Kempf. Cependant, les autres énoncés du théorème ne restent pas valables dans ce cadre.

Plus explicitement, soit λ un poids intégral dominant; alors c'est toujours vrai que {style d'affichage H^{je}(G/B,,L_{lambda })=0} pour tous {displaystyle i>0} , mais il n'est plus vrai que ce G-module soit simple en général, bien qu'il contienne l'unique module de poids le plus élevé de poids le plus élevé λ en tant que sous-module G. Si λ est un poids intégral arbitraire, c'est en fait un gros problème non résolu en théorie des représentations pour décrire les modules de cohomologie {style d'affichage H^{je}(G/B,,L_{lambda })} en général. Contrairement à plus {style d'affichage mathbb {C} } , Mumford a donné un exemple montrant qu'il n'est pas nécessaire que ce soit le cas pour un λ fixe que ces modules soient tous nuls sauf dans un seul degré i.

Borel–Weil theorem The Borel–Weil theorem provides a concrete model for irreducible representations of compact Lie groups and irreducible holomorphic representations of complex semisimple Lie groups. Ces représentations sont réalisées dans les espaces des sections globales des faisceaux de lignes holomorphes sur la variété drapeau du groupe. Le théorème de Borel – Weil – Bott est sa généralisation aux espaces de cohomologie supérieurs. The theorem dates back to the early 1950s and can be found in Serre & 1951-4 et seins (1955).

Statement of the theorem The theorem can be stated either for a complex semisimple Lie group G or for its compact form K. Soit G un groupe de Lie semi-simple complexe connexe, B un sous-groupe Borel de G, et X = G/B la variété de drapeau. Dans ce scénario, X est une variété complexe et une G-variété algébrique non singulière. La variété drapeau peut aussi être décrite comme un espace homogène compact K/T, où T = K ∩ B est un (compact) Sous-groupe de Cartan de K. Un poids intégral λ détermine un fibré linéaire holomorphe G-équivariant Lλ sur X et le groupe G agit sur son espace de sections globales, {style d'affichage Gamma (G/B,L_{lambda }). } Le théorème de Borel-Weil stipule que si λ est un poids intégral dominant alors cette représentation est une représentation holomorphe irréductible de poids le plus élevé de G avec le poids le plus élevé λ. Sa restriction à K est une représentation unitaire irréductible de K de poids le plus élevé λ, et chaque représentation unitaire irréductible de K est ainsi obtenue pour une valeur unique de λ. (Une représentation holomorphe d'un groupe de Lie complexe est une représentation pour laquelle la représentation correspondante de l'algèbre de Lie est linéaire complexe.) Concrete description The weight λ gives rise to a character (représentation unidimensionnelle) du sous-groupe Borel B, qui est noté χλ. Les sections holomorphes du faisceau de lignes holomorphes Lλ sur G / B peuvent être décrites plus concrètement comme des cartes holomorphes {style d'affichage f:Gto mathbb {C} _{lambda }:F(Go)=chi _{lambda }(b^{-1})F(g)} pour tout g ∈ G et b ∈ B.

L'action de G sur ces sections est donnée par {style d'affichage gcdot f(h)=f(g^{-1}h)} pour g, h ∈ G.

Example Let G be the complex special linear group SL(2, C), avec un sous-groupe de Borel constitué de matrices triangulaires supérieures avec un déterminant. Les poids intégraux pour G peuvent être identifiés avec des nombres entiers, avec des poids dominants correspondant à des entiers non négatifs, et les caractères correspondants χn de B ont la forme {style d'affichage chi _{n}{commencer{pmatrice}a&b\0&a^{-1}fin{pmatrice}}=un^{n}.} La variété de drapeaux G/B peut être identifiée à la droite projective complexe CP1 de coordonnées homogènes X, Y et l'espace des sections globales du fibré Ln s'identifie à l'espace des polynômes homogènes de degré n sur C2. Pour n ≥ 0, cet espace est de dimension n + 1 et forme une représentation irréductible sous l'action standard de G sur l'algèbre polynomiale C[X, Oui]. Les vecteurs de poids sont donnés par des monômes {style d'affichage X^{je}Oui ^{n-je},quad 0leq ileq n} de poids 2i − n, et le vecteur de poids le plus élevé Xn a un poids n.

Voir aussi Théorème du poids le plus élevé Notes ^ Jantzen, Jens Carsten (2003). Représentations des groupes algébriques (second ed.). Société mathématique américaine. ISBN 978-0-8218-3527-2. Références Fulton, William; Harris, Jo (1991). Théorie des représentations. Un premier cours. Textes d'études supérieures en mathématiques, Lectures en mathématiques. Volume. 129. New York: Springer Verlag. est ce que je:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. M 1153249. OCLC 246650103.. Bâton de marche, Robert J; Eastwood, Michel G.. (1989), La transformée de Penrose: son interaction avec la théorie des représentations, Presse universitaire d'Oxford. (réimprimé par Douvres) "Théorème de Bott – Borel – Weil", Encyclopédie des mathématiques, Presse EMS, 2001 [1994] Une preuve du théorème de Borel-Weil-Bott, par Jacob Lurie. Récupéré le juil.. 13, 2014. Serre, Jean-Pierre (1954) [1951], "Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)", Séminaire Bourbaki, 2 (100): 447–454. En français; titre traduit: "Représentations linéaires et espaces homogènes de Kähler des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)." Seins, Jacques (1955), Sur certaines classes d'espaces homogènes de groupes de Lie, Acad. Roy. Belgique. CL. SCI. j'ai. Coll., volume. 29 En français. Sépanski, Marc R. (2007), Groupes de Lie compacts., Textes d'études supérieures en mathématiques, volume. 235, New York: Springer, ISBN 9780387302638. Knapp, Antoine W. (2001), Théorie des représentations des groupes semi-simples: Un aperçu basé sur des exemples, Monuments de Princeton en mathématiques, Princeton, New Jersey: Presse de l'Université de Princeton. Réimpression de la 1986 original. Lectures complémentaires Teleman, Constantin (1998). "Théorie de Borel – Weil – Bott sur la pile de modules des G-faisceaux sur une courbe". Découvertes mathématiques. 134 (1): 1–57. est ce que je:10.1007/s002220050257. M 1646586.

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