Satz von Borel-Weil-Bott

Satz von Borel-Weil-Bott (Umgeleitet vom Satz von Borel-Weil) Zur Navigation springen Zur Suche springen In der Mathematik, Das Borel-Weil-Bott-Theorem ist ein grundlegendes Ergebnis der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen, zeigt, wie eine Familie von Darstellungen aus holomorphen Abschnitten bestimmter komplexer Vektorbündel erhalten werden kann, und, allgemeiner, aus höheren Garben-Kohomologiegruppen, die solchen Bündeln zugeordnet sind. Es basiert auf dem früheren Satz von Borel-Weil von Armand Borel und André Weil, Umgang nur mit dem Raum der Abschnitte (die nullte Kohomologiegruppe), die Erweiterung auf höhere Kohomologiegruppen wird von Raoul Bott bereitgestellt. Kann man gleich, durch Serres GAGA, Betrachten Sie dies als Ergebnis der komplexen algebraischen Geometrie in der Zariski-Topologie.

Inhalt 1 Formulierung 2 Beispiel 3 Positive Eigenschaft 4 Satz von Borel-Weil 4.1 Aussage des Theorems 4.2 Konkrete Beschreibung 4.3 Beispiel 5 Siehe auch 6 Anmerkungen 7 Verweise 8 Further reading Formulation Let G be a semisimple Lie group or algebraic group over {Anzeigestil mathbb {C} } , und fixiere einen maximalen Torus T zusammen mit einer Borel-Untergruppe B, die T enthält. Sei λ ein ganzzahliges Gewicht von T; λ definiert auf natürliche Weise eine eindimensionale Darstellung Cλ von B, durch Zurückziehen der Darstellung auf T = B/U, wobei U das unipotente Radikal von B ist. Da wir uns die Projektionskarte G → G/B als ein Haupt-B-Bündel vorstellen können, für jedes Cλ erhalten wir ein zugehöriges Faserbündel L−λ auf G/B (beachten Sie das Zeichen), das ist offensichtlich ein Leitungsbündel. Identifizieren von Lλ mit seinem Bündel holomorpher Abschnitte, wir betrachten die Garbenkohomologiegruppen {Anzeigestil H^{ich}(D/B,,L_{Lambda })} . Da G auf den Gesamtraum des Bündels wirkt {Anzeigestil L_{Lambda }} durch Bündelautomorphismen, diese Aktion gibt diesen Gruppen natürlich eine G-Modul-Struktur; und das Borel-Weil-Bott-Theorem gibt eine explizite Beschreibung dieser Gruppen als G-Moduln.

Wir müssen zuerst die Aktion der Weyl-Gruppe beschreiben, auf die sie sich konzentriert {Anzeigestil -rho } . Für jedes ganzzahlige Gewicht λ und w in der Weylgruppe W, legen wir fest {Anzeigestil in * Lambda :=w(Lambda + rho )-rho ,} , wobei ρ die Halbsumme positiver Wurzeln von G bezeichnet. Es ist einfach zu überprüfen, ob dies eine Gruppenaktion definiert, obwohl diese Aktion nicht linear ist, anders als die übliche Weyl-Gruppenaktion. Ebenfalls, ein Gewicht μ heißt dominant, wenn {zeige ihn an (alpha ^{Ve })geq 0} für alle einfachen Wurzeln α. Sei ℓ die Längenfunktion auf W.

Gegeben sei ein ganzzahliges Gewicht λ, einer von zwei Fällen eintritt: Es gibt kein {Displaystyle-Weine W.} so dass {Anzeigestil in * Lambda } ist dominant, gleichwertig, es existiert eine Nichtidentität {Displaystyle-Weine W.} so dass {Anzeigestil w * Lambda = Lambda } ; oder Es gibt eine eindeutige {Displaystyle-Weine W.} so dass {Anzeigestil in * Lambda } ist dominant.

Der Satz besagt, dass im ersten Fall, wir haben {Anzeigestil H^{ich}(D/B,,L_{Lambda })=0} für alle i; und im zweiten Fall, wir haben {Anzeigestil H^{ich}(D/B,,L_{Lambda })=0} für alle {Anzeigestil ungleich (w)} , während {Anzeigestil H^{Ell (w)}(D/B,,L_{Lambda })} ist das Dual der irreduziblen höchstgewichtigen Darstellung von G mit höchstem Gewicht {Anzeigestil in * Lambda } .

Es ist erwähnenswert, dass dieser Fall (1) oben tritt ein, wenn und nur wenn {Anzeigestil (Lambda + rho )(Beta ^{Ve })=0} für eine positive Wurzel β. Ebenfalls, wir erhalten den klassischen Borel-Weil-Satz als Spezialfall dieses Satzes, indem wir λ als dominant und w als Identitätselement annehmen {displaystyle ein W} .

Example For example, betrachte G = SL2(C), wofür G/B die Riemann-Kugel ist, ein ganzzahliges Gewicht wird einfach durch eine ganze Zahl n angegeben, und ρ = 1. Das Leitungsbündel Ln ist {Anzeigestil {mathematisch {Ö}}(n)} , deren Abschnitte die homogenen Polynome vom Grad n sind (d.h. die binären Formen). Als Vertreter von G, die Abschnitte können als Symn geschrieben werden(C2)*, und ist kanonisch isomorph zu Symn(C2).

Damit haben wir auf einen Schlag die Darstellungstheorie von {Anzeigestil {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} : {Anzeigestil Gamma ({mathematisch {Ö}}(1))} ist die Standarddarstellung, und {Anzeigestil Gamma ({mathematisch {Ö}}(n))} ist seine n-te symmetrische Potenz. Wir haben sogar eine einheitliche Beschreibung der Wirkungsweise der Lie-Algebra, abgeleitet von ihrer Realisierung als Vektorfelder auf der Riemannschen Kugel: wenn h, X, Y sind die Standardgeneratoren von {Anzeigestil {mathfrak {sl}}_{2}(mathbf {C} )} , dann {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}H&=x{frac {d}{dx}}-j{frac {d}{dy}},\[5Punkt]X&=x{frac {d}{dy}},\[5Punkt]Y&=y{frac {d}{dx}}.Ende{ausgerichtet}}} Weitere Informationen: Jordan map Positive characteristic One also has a weaker form of this theorem in positive characteristic. Nämlich, sei G eine halbeinfache algebraische Gruppe über einem algebraisch abgeschlossenen Eigenschaftsfeld {displaystyle p>0} . Dann bleibt es so {Anzeigestil H^{ich}(D/B,,L_{Lambda })=0} für alle i, wenn λ ein Gewicht ist, so dass {Anzeigestil in * Lambda } ist für alle nicht dominant {Displaystyle-Weine W.} solange λ ist "nahe Null".[1] Dies ist als Kempf-Verschwindungssatz bekannt. Jedoch, die anderen Aussagen des Theorems bleiben in dieser Konstellation nicht gültig.

Expliziter, sei λ ein dominantes ganzzahliges Gewicht; dann stimmt das immer noch {Anzeigestil H^{ich}(D/B,,L_{Lambda })=0} für alle {displaystyle i>0} , aber es ist nicht mehr wahr, dass dieser G-Modul im Allgemeinen einfach ist, obwohl es den eindeutig höchsten Gewichtsmodul des höchsten Gewichts λ als G-Submodul enthält. Wenn λ ein beliebiges ganzzahliges Gewicht ist, Tatsächlich ist es ein großes ungelöstes Problem in der Darstellungstheorie, die Kohomologiemodule zu beschreiben {Anzeigestil H^{ich}(D/B,,L_{Lambda })} Im Algemeinen. Im Gegensatz zu über {Anzeigestil mathbb {C} } , Mumford gab ein Beispiel, das zeigt, dass es für ein festes λ nicht der Fall sein muss, dass diese Module alle Null sind, außer in einem einzigen Grad i.

Borel–Weil theorem The Borel–Weil theorem provides a concrete model for irreducible representations of compact Lie groups and irreducible holomorphic representations of complex semisimple Lie groups. Diese Darstellungen werden in den Räumen globaler Abschnitte von holomorphen Linienbündeln auf der Flaggen-Mannigfaltigkeit der Gruppe realisiert. Das Borel-Weil-Bott-Theorem ist seine Verallgemeinerung auf höhere Kohomologieräume. The theorem dates back to the early 1950s and can be found in Serre & 1951-4 und Titten (1955).

Statement of the theorem The theorem can be stated either for a complex semisimple Lie group G or for its compact form K. Sei G eine zusammenhängende komplexe halbeinfache Lie-Gruppe, B eine Borel-Untergruppe von G, und X = G/B die Fahnensorte. In diesem Szenario, X ist eine komplexe Mannigfaltigkeit und eine nichtsinguläre algebraische G-Varietät. Die Fahnensorte kann auch als kompakter homogener Raum K/T bezeichnet werden, wobei T = K ∩ B a ist (kompakt) Cartan-Untergruppe von K. Ein ganzzahliges Gewicht λ bestimmt ein G-äquivariantes holomorphes Linienbündel Lλ auf X und die Gruppe G wirkt auf ihren Raum globaler Schnitte, {Anzeigestil Gamma (D/B,L_{Lambda }). } Das Borel-Weil-Theorem besagt, dass, wenn λ ein dominantes ganzzahliges Gewicht ist, diese Darstellung eine holomorphe irreduzible Darstellung mit dem höchsten Gewicht von G mit dem höchsten Gewicht λ ist. Seine Beschränkung auf K ist eine irreduzible einheitliche Darstellung von K mit dem höchsten Gewicht λ, und jede irreduzible einheitliche Darstellung von K wird auf diese Weise für einen eindeutigen Wert von λ erhalten. (Eine holomorphe Darstellung einer komplexen Lie-Gruppe ist eine, für die die entsprechende Lie-Algebra-Darstellung komplex linear ist.) Concrete description The weight λ gives rise to a character (eindimensionale Darstellung) der Borel-Untergruppe B, was mit χλ bezeichnet wird. Holomorphe Abschnitte des holomorphen Linienbündels Lλ über G/B können konkreter als holomorphe Karten beschrieben werden {Anzeigestil f:Gto mathbb {C} _{Lambda }:f(gb)=chi_{Lambda }(b^{-1})f(g)} für alle g ∈ G und b ∈ B.

Die Wirkung von G auf diese Abschnitte ist gegeben durch {Anzeigestil gcdot f(h)= f(g^{-1}h)} für g, h ∈ G.

Example Let G be the complex special linear group SL(2, C), mit einer Borel-Untergruppe bestehend aus oberen Dreiecksmatrizen mit Determinante eins. Ganzzahlige Gewichte für G können mit ganzen Zahlen identifiziert werden, mit dominanten Gewichten, die nichtnegativen ganzen Zahlen entsprechen, und die entsprechenden Zeichen χn von B haben die Form {displaystyle chi _{n}{Start{pMatrix}a&b\0&a^{-1}Ende{pMatrix}}=a^{n}.} Die Flaggensorte G/B kann mit der komplexen Projektionslinie CP1 mit homogenen Koordinaten X identifiziert werden, Y und der Raum der globalen Abschnitte des Linienbündels Ln wird mit dem Raum homogener Polynome vom Grad n auf C2 identifiziert. Für n ≥ 0, dieser Raum hat die Dimension n + 1 und bildet eine irreduzible Darstellung unter der Standardaktion von G auf der Polynomalgebra C[X, Y]. Gewichtsvektoren sind durch Monome gegeben {Anzeigestil X^{ich}Y^{n-i},Quad 0leq ileq n} von Gewichten 2i − n, und der höchste Gewichtsvektor Xn hat das Gewicht n.

Siehe auch Satz von den höchsten Gewichtsnotizen ^ Jantzen, Jens Karsten (2003). Darstellungen algebraischer Gruppen (second ed.). Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 978-0-8218-3527-2. Referenzen Fulton, Wilhelm; Harris, Jo (1991). Darstellungstheorie. Ein erster Kurs. Abschlusstexte in Mathematik, Lektüre in Mathematik. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. HERR 1153249. OCLC 246650103.. Gehstock, Robert J.; Eastwood, Michael g. (1989), Die Penrose-Transformation: seine Wechselwirkung mit der Darstellungstheorie, Oxford University Press. (Nachdruck von Dover) "Satz von Bott-Borel-Weil", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994] Ein Beweis des Satzes von Borel-Weil-Bott, von Jacob Lurie. Abgerufen am 07. 13, 2014. Fest, Jean Pierre (1954) [1951], "Lineare Darstellungen und homogene Kähler-Räume kompakter Lie-Gruppen (nach Armand Borel und André Weil)", Bourbaki-Seminar, 2 (100): 447–454. Auf Französisch; übersetzter Titel: "Lineare Darstellungen und homogene Kähler-Räume kompakter Lie-Gruppen (nach Armand Borel und André Weil)." Titten, Jacques (1955), Über bestimmte Klassen homogener Räume von Lie-Gruppen, Akad. Roy. Belgien. Kl. Wissenschaft. Ich habe. Koll., vol. 29 Auf Französisch. Sepanski, Markus R. (2007), Kompakte Lie-Gruppen., Abschlusstexte in Mathematik, vol. 235, New York: Springer, ISBN 9780387302638. Knapp, Antonius W. (2001), Darstellungstheorie von halbeinfachen Gruppen: Ein Überblick anhand von Beispielen, Princeton Wahrzeichen in der Mathematik, Princeton, NJ: Princeton University Press. Nachdruck der 1986 Original. Weiterführende Literatur Teleman, Konstantin (1998). "Borel-Weil-Bott-Theorie zum Modulstapel von G-Bündeln über einer Kurve". Mathematische Entdeckungen. 134 (1): 1–57. doi:10.1007/s002220050257. HERR 1646586.

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