Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema de Bolzano-Weierstrass Em matemática, especificamente em análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass, em homenagem a Bernard Bolzano e Karl Weierstrass, é um resultado fundamental sobre convergência em um espaço euclidiano de dimensão finita {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} . O teorema afirma que cada sequência limitada em {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} tem uma subsequência convergente.[1] Uma formulação equivalente é que um subconjunto de {estilo de exibição mathbb {R} ^{n}} é sequencialmente compacto se e somente se for fechado e limitado.[2] O teorema às vezes é chamado de teorema da compacidade sequencial.[3] Conteúdo 1 História e significado 2 Prova 3 Prova alternativa 4 Compacidade sequencial em espaços euclidianos 5 Aplicação à economia 6 Veja também 7 Notas 8 Referências 9 External links History and significance The Bolzano–Weierstrass theorem is named after mathematicians Bernard Bolzano and Karl Weierstrass. Na verdade, foi provado pela primeira vez por Bolzano em 1817 como um lema na prova do teorema do valor intermediário. Cerca de cinquenta anos depois, o resultado foi identificado como significativo por si só, e provado novamente por Weierstrass. Desde então, tornou-se um teorema essencial de análise.

Proof First we prove the theorem for {estilo de exibição mathbb {R} ^{1}} (conjunto de todos os números reais), nesse caso o pedido em {estilo de exibição mathbb {R} ^{1}} pode ser bem aproveitado. De fato, Nós temos o seguinte resultado: Lema: Cada sequência infinita {estilo de exibição (x_{n})} dentro {estilo de exibição mathbb {R} ^{1}} tem uma subsequência monótona.

Prova: Vamos chamar um índice de valor inteiro positivo {estilo de exibição m} de uma sequência a "pico" da sequência quando {estilo de exibição x_{m}n} . Suponha primeiro que a sequência tenha infinitos picos, o que significa que existe uma subsequência com os seguintes índices {estilo de exibição n_{1}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>dots >x_{n_{j}}>dots } . Então, a sequência infinita {estilo de exibição (x_{n})} dentro {estilo de exibição mathbb {R} ^{1}} tem uma subsequência monótona, qual é {estilo de exibição (x_{n_{j}})} . Mas suponha agora que há apenas um número finito de picos, deixar {estilo de exibição N} seja o pico final e deixe o primeiro índice de uma nova subsequência {estilo de exibição (x_{n_{j}})} ser definido para {estilo de exibição n_{1}=N+1} . Então {estilo de exibição n_{1}} não é um pico, desde {estilo de exibição n_{1}} vem depois do pico final, o que implica a existência de {estilo de exibição n_{2}} com {estilo de exibição n_{1}

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