Teorema di Bolzano-Weierstrass

Teorema di Bolzano-Weierstrass In matematica, in particolare nell'analisi reale, il teorema di Bolzano-Weierstrass, intitolato a Bernard Bolzano e Karl Weierstrass, è un risultato fondamentale sulla convergenza in uno spazio euclideo a dimensione finita {displaystyle mathbb {R} ^{n}} . Il teorema afferma che ogni sequenza limitata in {displaystyle mathbb {R} ^{n}} ha una sottosuccessione convergente.[1] Una formulazione equivalente è quella di un sottoinsieme di {displaystyle mathbb {R} ^{n}} è sequenzialmente compatto se e solo se è chiuso e limitato.[2] Il teorema è talvolta chiamato teorema di compattezza sequenziale.[3] Contenuti 1 Storia e significato 2 Prova 3 Prova alternativa 4 Compattezza sequenziale negli spazi euclidei 5 Applicazione all'economia 6 Guarda anche 7 Appunti 8 Riferimenti 9 External links History and significance The Bolzano–Weierstrass theorem is named after mathematicians Bernard Bolzano and Karl Weierstrass. In realtà è stato dimostrato per la prima volta da Bolzano a 1817 come lemma nella dimostrazione del teorema dei valori intermedi. Circa cinquant'anni dopo il risultato fu identificato come significativo di per sé, e dimostrato ancora da Weierstrass. Da allora è diventato un teorema essenziale dell'analisi.

Proof First we prove the theorem for {displaystyle mathbb {R} ^{1}} (insieme di tutti i numeri reali), nel qual caso l'ordine su {displaystyle mathbb {R} ^{1}} può essere messo a frutto. Infatti, abbiamo il seguente risultato: Lemma: Ogni sequenza infinita {stile di visualizzazione (X_{n})} in {displaystyle mathbb {R} ^{1}} ha una sottosequenza monotona.

Prova: Chiamiamo un indice positivo a valori interi {stile di visualizzazione n} di una sequenza a "picco" della sequenza quando {stile di visualizzazione x_{m}n} . Supponiamo innanzitutto che la sequenza abbia infiniti picchi, il che significa che c'è una sottosequenza con i seguenti indici {stile di visualizzazione n_{1}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>dots >x_{n_{j}}>dots } . Così, la sequenza infinita {stile di visualizzazione (X_{n})} in {displaystyle mathbb {R} ^{1}} ha una sottosequenza monotona, che è {stile di visualizzazione (X_{n_{j}})} . Ma supponiamo ora che ci siano solo un numero limitato di picchi, permettere {stile di visualizzazione N} sia il picco finale e sia il primo indice di una nuova sottosequenza {stile di visualizzazione (X_{n_{j}})} essere impostato su {stile di visualizzazione n_{1}=N+1} . Quindi {stile di visualizzazione n_{1}} non è un picco, da {stile di visualizzazione n_{1}} arriva dopo il picco finale, che implica l'esistenza di {stile di visualizzazione n_{2}} insieme a {stile di visualizzazione n_{1}

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