Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème de Bolzano-Weierstrass En mathématiques, spécifiquement dans l'analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, est un résultat fondamental sur la convergence dans un espace euclidien de dimension finie {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} . Le théorème énonce que chaque suite bornée dans {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} possède une sous-suite convergente.[1] Une formulation équivalente est qu'un sous-ensemble de {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} est séquentiellement compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.[2] Le théorème est parfois appelé théorème de compacité séquentielle.[3] Contenu 1 Histoire et signification 2 Preuve 3 Preuve alternative 4 Compacité séquentielle dans les espaces euclidiens 5 Application à l'économie 6 Voir également 7 Remarques 8 Références 9 External links History and significance The Bolzano–Weierstrass theorem is named after mathematicians Bernard Bolzano and Karl Weierstrass. Il a en fait été prouvé pour la première fois par Bolzano en 1817 comme lemme dans la preuve du théorème des valeurs intermédiaires. Quelque cinquante ans plus tard, le résultat a été identifié comme significatif en soi, et prouvé à nouveau par Weierstrass. Il est depuis devenu un théorème essentiel de l'analyse.

Proof First we prove the theorem for {style d'affichage mathbb {R} ^{1}} (ensemble de tous les nombres réels), auquel cas la commande sur {style d'affichage mathbb {R} ^{1}} peut être mis à profit. En effet, Nous avons les résultats suivants: Lemme: Chaque séquence infinie {style d'affichage (X_{n})} dans {style d'affichage mathbb {R} ^{1}} a une sous-suite monotone.

Preuve: Appelons un indice entier positif {displaystyle n} d'une séquence un "de pointe" de la séquence lorsque {style d'affichage x_{m}n} . Supposons d'abord que la suite a une infinité de pics, ce qui signifie qu'il existe une sous-séquence avec les indices suivants {displaystyle n_{1}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>dots >x_{n_{j}}>dots } . Alors, la suite infinie {style d'affichage (X_{n})} dans {style d'affichage mathbb {R} ^{1}} a une sous-suite monotone, lequel est {style d'affichage (X_{n_{j}})} . Mais supposons maintenant qu'il n'y ait qu'un nombre fini de pics, laisser {displaystyle N} être le pic final et laisser le premier indice d'une nouvelle sous-séquence {style d'affichage (X_{n_{j}})} être prêt à {displaystyle n_{1}=N+1} . Alors {displaystyle n_{1}} n'est pas un sommet, puisque {displaystyle n_{1}} vient après le pic final, ce qui implique l'existence de {displaystyle n_{2}} avec {displaystyle n_{1}

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