Satz von Bolzano-Weierstraß

Satz von Bolzano-Weierstraß In der Mathematik, speziell in der realen Analyse, das Bolzano-Weierstraß-Theorem, benannt nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß, ist ein grundlegendes Ergebnis über die Konvergenz in einem endlichdimensionalen euklidischen Raum {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} . Der Satz besagt, dass jede beschränkte Folge in {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} hat eine konvergente Teilfolge.[1] Eine äquivalente Formulierung ist, dass eine Teilmenge von {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} ist folgenkompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.[2] Der Satz wird manchmal als sequentieller Kompaktheitssatz bezeichnet.[3] Inhalt 1 Geschichte und Bedeutung 2 Nachweisen 3 Alternativer Beweis 4 Sequentielle Kompaktheit in euklidischen Räumen 5 Bewerbung für die Wirtschaftswissenschaften 6 Siehe auch 7 Anmerkungen 8 Verweise 9 External links History and significance The Bolzano–Weierstrass theorem is named after mathematicians Bernard Bolzano and Karl Weierstrass. Es wurde tatsächlich zuerst von Bozen in bewiesen 1817 als Lemma im Beweis des Zwischenwertsatzes. Etwa fünfzig Jahre später wurde das Ergebnis als eigenständig bedeutsam identifiziert, und von Weierstraß erneut bewiesen. Es ist seitdem zu einem wesentlichen Theorem der Analysis geworden.

Proof First we prove the theorem for {Anzeigestil mathbb {R} ^{1}} (Menge aller reellen Zahlen), in diesem Fall die Bestellung auf {Anzeigestil mathbb {R} ^{1}} gut gebrauchen kann. In der Tat, wir haben folgendes Ergebnis: Lemma: Jede unendliche Folge {Anzeigestil (x_{n})} in {Anzeigestil mathbb {R} ^{1}} hat eine monotone Teilfolge.

Nachweisen: Nennen wir einen positiven ganzzahligen Index {Anzeigestil n} einer Folge a "Gipfel" der Folge wann {Anzeigestil x_{m}n} . Nehmen wir zunächst an, dass die Folge unendlich viele Spitzen hat, dh es gibt eine Unterfolge mit den folgenden Indizes {Anzeigestil n_{1}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>dots >x_{n_{j}}>dots } . So, die unendliche Folge {Anzeigestil (x_{n})} in {Anzeigestil mathbb {R} ^{1}} hat eine monotone Teilfolge, welches ist {Anzeigestil (x_{n_{j}})} . Aber nehmen wir nun an, dass es nur endlich viele Spitzen gibt, Lassen {Anzeigestil N} Sei der letzte Peak und sei der erste Index einer neuen Teilsequenz {Anzeigestil (x_{n_{j}})} eingestellt werden {Anzeigestil n_{1}=N+1} . Dann {Anzeigestil n_{1}} ist kein Höhepunkt, seit {Anzeigestil n_{1}} kommt nach dem letzten Höhepunkt, was die Existenz von impliziert {Anzeigestil n_{2}} mit {Anzeigestil n_{1}

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