Teorema de Bloch (variáveis ​​complexas)

Teorema de Bloch (variáveis ​​complexas) Para o teorema da física quântica, veja o teorema de Bloch.

Em análise complexa, um ramo da matemática, O teorema de Bloch descreve o comportamento de funções holomorfas definidas no disco unitário. Dá um limite inferior no tamanho de um disco no qual existe uma função inversa de uma função holomórfica. Tem o nome de André Bloch.

Conteúdo 1 Declaração 2 Teorema de Landau 3 Teorema de Valiron 4 Prova 4.1 Teorema de Landau 4.2 Teorema de Bloch 5 Constantes de Bloch e Landau 6 Veja também 7 Referências 8 External links Statement Let f be a holomorphic function in the unit disk |z| ≤ 1 para qual {estilo de exibição |f'(0)|=1} O Teorema de Bloch afirma que existe um disco S ⊂ D no qual f é biholomórfico e f(S) contém um disco com raio 1/72.

Landau's theorem If f is a holomorphic function in the unit disk with the property |f′(0)| = 1, então seja Lf o raio do maior disco contido na imagem de f.

O teorema de Landau afirma que existe uma constante L definida como o ínfimo de Lf sobre todas as funções f, e que L ≥ B.

Este teorema é nomeado após Edmund Landau.

Valiron's theorem Bloch's theorem was inspired by the following theorem of Georges Valiron: Teorema. Se f é uma função inteira não constante então existem discos D de raio arbitrariamente grande e funções analíticas φ em D tais que f(Phi(z)) = z for z in D.

O teorema de Bloch corresponde ao teorema de Valiron através do chamado Princípio de Bloch.

Proof Landau's theorem We first prove the case when f(0) = 0, f′(0) = 1, e |f′(z)| ≤ 2 no disco da unidade. Pela fórmula integral de Cauchy, temos um limite {estilo de exibição |f''(z)|= esquerda|{fratura {1}{2pi eu}}pomada _{gama }{fratura {f'(W)}{(w-z)^{2}}},matemática {d} escritor|leq {fratura {1}{2pi }}cdot 2pi rsup _{w = gama (t)}{fratura {|f'(W)|}{|w-z|^{2}}}leq {fratura {2}{r}},} onde γ é o círculo anti-horário de raio r em torno de z, e 0 < r < 1 − |z|. By Taylor's theorem, for each z in the unit disk, there exists 0 ≤ t ≤ 1 such that f(z) = z + z2f″(tz) / 2. Thus, if |z| = 1/3 and |w| < 1/6, we have {displaystyle |(f(z)-w)-(z-w)|={frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|leq {frac {|z|^{2}}{1-t|z|}}leq {frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={frac {1}{6}}<|z|-|w|leq |z-w|.} By Rouché's theorem, the range of f contains the disk of radius 1/6 around 0. Let D(z0, r) denote the open disk of radius r around z0. For an analytic function g : D(z0, r) → C such that g(z0) ≠ 0, the case above applied to (g(z0 + rz) − g(z0)) / (rg′(0)) implies that the range of g contains D(g(z0), |g′(0)|r / 6). For the general case, let f be an analytic function in the unit disk such that |f′(0)| = 1, and z0 = 0. If |f′(z)| ≤ 2|f′(z0)| for |z − z0| < 1/4, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z0)| / 24 = 1/24. Otherwise, there exists z1 such that |z1 − z0| < 1/4 and |f′(z1)| > 2|f′(z0)|. Se |f′(z)| ≤ 2|f′(z1)| por |z − z1| < 1/8, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z1)| / 48 > |f′(z0)| / 24 = 1/24. Por outro lado, existe z2 tal que |z2 − z1| < 1/8 and |f′(z2)| > 2|f′(z1)|.

Repetindo este argumento, ou encontramos um disco de raio pelo menos 1/24 na faixa de f, provando o teorema, ou encontre uma sequência infinita (zn) de tal modo que |zn - zn - 1| < 1/2n+1 and |f′(zn)| > 2|f′(zn−1)|. Neste último caso a sequência está em D(0, 1/2), então f′ é ilimitado em D(0, 1/2), uma contradição.

Bloch's Theorem In the proof of Landau's Theorem above, O teorema de Rouché implica que não só podemos encontrar um disco D de raio pelo menos 1/24 na faixa de f, mas também existe um pequeno disco D0 dentro do disco unitário tal que para cada w ∈ D existe um único z ∈ D0 com f(z) = w. Desta forma, f é uma função analítica bijetiva de D0 ∩ f−1(D) para D, então seu inverso φ também é analítico pelo teorema da função inversa.

Bloch's and Landau's constants The number B is called the Bloch's constant. O limite inferior 1/72 no teorema de Bloch não é o melhor possível. Bloch's theorem tells us B ≥ 1/72, mas o valor exato de B ainda é desconhecido.

Os limites mais conhecidos para B atualmente são {estilo de exibição 0,4332 aprox {fratura {quadrado {3}}{4}}+2vezes 10^{-4}leq Bleq {quadrado {fratura {{quadrado {3}}-1}{2}}}cdot {fratura {Gama ({fratura {1}{3}})Gama ({fratura {11}{12}})}{Gama ({fratura {1}{4}})}}Aproximadamente 0.4719,} onde Γ é a função Gama. O limite inferior foi provado por Chen e Gauthier, e o limite superior remonta a Ahlfors e Grunsky.

A constante ótima L similarmente definida no teorema de Landau é chamada de constante de Landau. Seu valor exato também é desconhecido, mas sabe-se que {estilo de exibição 0,5

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