Il teorema di Bloch (variabili complesse)

Il teorema di Bloch (variabili complesse) Per il teorema della fisica quantistica, vedi il teorema di Bloch.

Nell'analisi complessa, una branca della matematica, Il teorema di Bloch descrive il comportamento delle funzioni olomorfe definite sul disco unitario. Dà un limite inferiore alla dimensione di un disco in cui esiste una funzione inversa a una olomorfa. Prende il nome da André Bloch.

Contenuti 1 Dichiarazione 2 Il teorema di Landau 3 Il teorema di Valiron 4 Prova 4.1 Il teorema di Landau 4.2 Teorema di Bloch 5 Costanti di Bloch e di Landau 6 Guarda anche 7 Riferimenti 8 External links Statement Let f be a holomorphic function in the unit disk |z| ≤ 1 per cui {stile di visualizzazione |f'(0)|=1} Il Teorema di Bloch afferma che esiste un disco S ⊂ D su cui f è biolomorfo e f(S) contiene un disco con raggio 1/72.

Landau's theorem If f is a holomorphic function in the unit disk with the property |f'(0)| = 1, allora sia Lf il raggio del disco maggiore contenuto nell'immagine di f.

Il teorema di Landau afferma che esiste una costante L definita come l'infimum di Lf su tutte tali funzioni f, e che L ≥ B.

Questo teorema prende il nome da Edmund Landau.

Valiron's theorem Bloch's theorem was inspired by the following theorem of Georges Valiron: Teorema. Se f è una funzione intera non costante allora esistono dischi D di raggio arbitrariamente grande e funzioni analitiche φ in D tali che f(Phi(z)) = z for z in D.

Il teorema di Bloch corrisponde al teorema di Valiron tramite il cosiddetto Principio di Bloch.

Proof Landau's theorem We first prove the case when f(0) = 0, f'(0) = 1, e |f'(z)| ≤ 2 nel disco dell'unità. Per la formula integrale di Cauchy, abbiamo un limite {stile di visualizzazione |f''(z)|= sinistra|{frac {1}{2pi io}}unguento _{gamma }{frac {f'(w)}{(w-z)^{2}}},matematica {d} wright|leq {frac {1}{2pi }}cdot 2pi rsup _{w=gamma (t)}{frac {|f'(w)|}{|w-z|^{2}}}leq {frac {2}{r}},} dove γ è il cerchio in senso antiorario di raggio r attorno a z, e 0 < r < 1 − |z|. By Taylor's theorem, for each z in the unit disk, there exists 0 ≤ t ≤ 1 such that f(z) = z + z2f″(tz) / 2. Thus, if |z| = 1/3 and |w| < 1/6, we have {displaystyle |(f(z)-w)-(z-w)|={frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|leq {frac {|z|^{2}}{1-t|z|}}leq {frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={frac {1}{6}}<|z|-|w|leq |z-w|.} By Rouché's theorem, the range of f contains the disk of radius 1/6 around 0. Let D(z0, r) denote the open disk of radius r around z0. For an analytic function g : D(z0, r) → C such that g(z0) ≠ 0, the case above applied to (g(z0 + rz) − g(z0)) / (rg′(0)) implies that the range of g contains D(g(z0), |g′(0)|r / 6). For the general case, let f be an analytic function in the unit disk such that |f′(0)| = 1, and z0 = 0. If |f′(z)| ≤ 2|f′(z0)| for |z − z0| < 1/4, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z0)| / 24 = 1/24. Otherwise, there exists z1 such that |z1 − z0| < 1/4 and |f′(z1)| > 2|f'(z0)|. Se |f'(z)| ≤ 2|f'(z1)| per |z-z1| < 1/8, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z1)| / 48 > |f'(z0)| / 24 = 1/24. Altrimenti, esiste z2 tale che |z2 - z1| < 1/8 and |f′(z2)| > 2|f'(z1)|.

Ripetere questa argomentazione, o troviamo almeno un disco di raggio 1/24 nella gamma di f, dimostrare il teorema, o trova una sequenza infinita (zn) tale che |zn - zn - 1| < 1/2n+1 and |f′(zn)| > 2|f'(zn-1)|. In quest'ultimo caso la sequenza è in D(0, 1/2), quindi f′ è illimitato in D(0, 1/2), una contraddizione.

Bloch's Theorem In the proof of Landau's Theorem above, Il teorema di Rouché implica che non solo possiamo trovare almeno un disco D di raggio 1/24 nella gamma di f, ma c'è anche un dischetto D0 all'interno del disco unitario tale che per ogni w ∈ D c'è un unico z ∈ D0 con f(z) = w. così, f è una funzione analitica biunivoca da D0 ∩ f−1(D) a D, quindi anche il suo inverso φ è analitico per il teorema della funzione inversa.

Bloch's and Landau's constants The number B is called the Bloch's constant. Il limite inferiore 1/72 nel teorema di Bloch non è il migliore possibile. Bloch's theorem tells us B ≥ 1/72, ma il valore esatto di B è ancora sconosciuto.

I limiti più noti per B al momento sono {stile di visualizzazione 0,4332 ca {frac {mq {3}}{4}}+2volte 10^{-4}leq Bleq {mq {frac {{mq {3}}-1}{2}}}cdot {frac {Gamma ({frac {1}{3}})Gamma ({frac {11}{12}})}{Gamma ({frac {1}{4}})}}ca 0.4719,} dove Γ è la funzione Gamma. Il limite inferiore è stato dimostrato da Chen e Gauthier, e il limite superiore risale ad Ahlfors e Grunsky.

La costante ottima L, definita in modo simile nel teorema di Landau, è chiamata costante di Landau. Anche il suo valore esatto è sconosciuto, ma si sa {stile di visualizzazione 0.5

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