Théorème de Bloch (variables complexes)

Théorème de Bloch (variables complexes) Pour le théorème de physique quantique, voir le théorème de Bloch.

En analyse complexe, une branche des mathématiques, Le théorème de Bloch décrit le comportement des fonctions holomorphes définies sur le disque unité. Il donne une borne inférieure sur la taille d'un disque dans lequel un inverse à une fonction holomorphe existe. Il porte le nom d'André Bloch.

Contenu 1 Déclaration 2 Théorème de Landau 3 Théorème de Valiron 4 Preuve 4.1 Théorème de Landau 4.2 Théorème de Bloch 5 Constantes de Bloch et de Landau 6 Voir également 7 Références 8 External links Statement Let f be a holomorphic function in the unit disk |z| ≤ 1 Pour qui {style d'affichage |F'(0)|=1} Le théorème de Bloch énonce qu'il existe un disque S ⊂ D sur lequel f est biholomorphe et f(S) contient un disque de rayon 1/72.

Landau's theorem If f is a holomorphic function in the unit disk with the property |F'(0)| = 1, soit alors Lf le rayon du plus grand disque contenu dans l'image de f.

Le théorème de Landau stipule qu'il existe une constante L définie comme l'infimum de Lf sur toutes ces fonctions f, et que L ≥ B.

Ce théorème porte le nom d'Edmund Landau.

Valiron's theorem Bloch's theorem was inspired by the following theorem of Georges Valiron: Théorème. Si f est une fonction entière non constante alors il existe des disques D de rayon arbitrairement grand et des fonctions analytiques φ dans D telles que f(Phi(z)) = z for z in D.

Le théorème de Bloch correspond au théorème de Valiron via le principe dit de Bloch.

Proof Landau's theorem We first prove the case when f(0) = 0, F'(0) = 1, et |F'(z)| ≤ 2 dans le disque de l'unité. Par la formule intégrale de Cauchy, nous avons une limite {style d'affichage |F''(z)|=gauche|{frac {1}{2pi je}}point _{gamma }{frac {F'(w)}{(w-z)^{2}}},mathrm {ré} droit|leq {frac {1}{2pi }}cdot 2pi rsup _{w=gamma (t)}{frac {|F'(w)|}{|w-z|^{2}}}leq {frac {2}{r}},} où γ est le cercle anti-horaire de rayon r autour de z, et 0 < r < 1 − |z|. By Taylor's theorem, for each z in the unit disk, there exists 0 ≤ t ≤ 1 such that f(z) = z + z2f″(tz) / 2. Thus, if |z| = 1/3 and |w| < 1/6, we have {displaystyle |(f(z)-w)-(z-w)|={frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|leq {frac {|z|^{2}}{1-t|z|}}leq {frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={frac {1}{6}}<|z|-|w|leq |z-w|.} By Rouché's theorem, the range of f contains the disk of radius 1/6 around 0. Let D(z0, r) denote the open disk of radius r around z0. For an analytic function g : D(z0, r) → C such that g(z0) ≠ 0, the case above applied to (g(z0 + rz) − g(z0)) / (rg′(0)) implies that the range of g contains D(g(z0), |g′(0)|r / 6). For the general case, let f be an analytic function in the unit disk such that |f′(0)| = 1, and z0 = 0. If |f′(z)| ≤ 2|f′(z0)| for |z − z0| < 1/4, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z0)| / 24 = 1/24. Otherwise, there exists z1 such that |z1 − z0| < 1/4 and |f′(z1)| > 2|F'(z0)|. Si |F'(z)| ≤ 2|F'(z1)| pour |z − z1| < 1/8, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z1)| / 48 > |F'(z0)| / 24 = 1/24. Autrement, il existe z2 tel que |z2 − z1| < 1/8 and |f′(z2)| > 2|F'(z1)|.

Répéter cet argument, soit on trouve un disque de rayon au moins 1/24 dans la gamme de f, prouver le théorème, ou trouver une suite infinie (zn) tel que |zn - zn − 1| < 1/2n+1 and |f′(zn)| > 2|F'(zn−1)|. Dans ce dernier cas la suite est en D(0, 1/2), donc f′ est illimitée dans D(0, 1/2), une contradiction.

Bloch's Theorem In the proof of Landau's Theorem above, Le théorème de Rouché implique que non seulement on peut trouver un disque D de rayon au moins 1/24 dans la gamme de f, mais il y a aussi un petit disque D0 à l'intérieur du disque unité tel que pour tout w ∈ D il existe un unique z ∈ D0 avec f(z) = w. Ainsi, f est une fonction analytique bijective de D0 ∩ f−1(ré) à D, donc son inverse φ est également analytique par le théorème de la fonction inverse.

Bloch's and Landau's constants The number B is called the Bloch's constant. La borne inférieure 1/72 dans le théorème de Bloch n'est pas le meilleur possible. Bloch's theorem tells us B ≥ 1/72, mais la valeur exacte de B est encore inconnue.

Les bornes les mieux connues pour B à l'heure actuelle sont {style d'affichage 0.4332approx {frac {sqrt {3}}{4}}+2fois 10^{-4}leq Bléq {sqrt {frac {{sqrt {3}}-1}{2}}}cdot {frac {Gamma ({frac {1}{3}})Gamma ({frac {11}{12}})}{Gamma ({frac {1}{4}})}}environ 0.4719,} où Γ est la fonction Gamma. La borne inférieure a été démontrée par Chen et Gauthier, et la borne supérieure remonte à Ahlfors et Grunsky.

La constante optimale L définie de manière similaire dans le théorème de Landau est appelée la constante de Landau. Sa valeur exacte est également inconnue, mais on sait que {style d'affichage 0.5

Si vous voulez connaître d'autres articles similaires à Théorème de Bloch (variables complexes) vous pouvez visiter la catégorie Théorèmes en analyse complexe.