Satz von Bloch (komplexe Variablen)

Satz von Bloch (komplexe Variablen) Für den Satz der Quantenphysik, siehe Satz von Bloch.

In der komplexen Analyse, ein Zweig der Mathematik, Der Satz von Bloch beschreibt das Verhalten von holomorphen Funktionen, die auf der Einheitsscheibe definiert sind. Es gibt eine Untergrenze für die Größe einer Scheibe an, in der eine Umkehrung einer holomorphen Funktion existiert. Es ist nach André Bloch benannt.

Inhalt 1 Aussage 2 Satz von Landau 3 Satz von Valiron 4 Nachweisen 4.1 Satz von Landau 4.2 Satz von Bloch 5 Bloch- und Landau-Konstanten 6 Siehe auch 7 Verweise 8 External links Statement Let f be a holomorphic function in the unit disk |z| ≤ 1 wofür {Anzeigestil |f'(0)|=1} Der Satz von Bloch besagt, dass es eine Scheibe S ⊂ D gibt, auf der f biholomorph und f ist(S) enthält eine Scheibe mit Radius 1/72.

Landau's theorem If f is a holomorphic function in the unit disk with the property |f'(0)| = 1, dann sei Lf der Radius der größten Scheibe, die im Bild von f enthalten ist.

Der Satz von Landau besagt, dass es eine Konstante L gibt, die als Infimum von Lf über alle solchen Funktionen f definiert ist, und dass L ≥ B.

Dieser Satz ist nach Edmund Landau benannt.

Valiron's theorem Bloch's theorem was inspired by the following theorem of Georges Valiron: Satz. Wenn f eine nicht konstante ganze Funktion ist, dann gibt es Scheiben D mit beliebig großem Radius und analytische Funktionen φ in D, so dass f(Phi(z)) = z for z in D.

Der Satz von Bloch entspricht dem Satz von Valiron über das sogenannte Blochsche Prinzip.

Proof Landau's theorem We first prove the case when f(0) = 0, f'(0) = 1, und |f'(z)| ≤ 2 in der Einheitsdiskette. Nach Cauchys Integralformel, Wir haben eine Grenze {Anzeigestil |f''(z)|=links|{frac {1}{2pi ich}}Punkt _{Gamma }{frac {f'(w)}{(w-z)^{2}}},Mathrm {d} Wright|leq {frac {1}{2Pi }}cdot 2pi rsup _{w=gamma (t)}{frac {|f'(w)|}{|w-z|^{2}}}leq {frac {2}{r}},} wobei γ der Kreis mit dem Radius r gegen den Uhrzeigersinn um z ist, und 0 < r < 1 − |z|. By Taylor's theorem, for each z in the unit disk, there exists 0 ≤ t ≤ 1 such that f(z) = z + z2f″(tz) / 2. Thus, if |z| = 1/3 and |w| < 1/6, we have {displaystyle |(f(z)-w)-(z-w)|={frac {1}{2}}|z|^{2}|f''(tz)|leq {frac {|z|^{2}}{1-t|z|}}leq {frac {|z|^{2}}{1-|z|}}={frac {1}{6}}<|z|-|w|leq |z-w|.} By Rouché's theorem, the range of f contains the disk of radius 1/6 around 0. Let D(z0, r) denote the open disk of radius r around z0. For an analytic function g : D(z0, r) → C such that g(z0) ≠ 0, the case above applied to (g(z0 + rz) − g(z0)) / (rg′(0)) implies that the range of g contains D(g(z0), |g′(0)|r / 6). For the general case, let f be an analytic function in the unit disk such that |f′(0)| = 1, and z0 = 0. If |f′(z)| ≤ 2|f′(z0)| for |z − z0| < 1/4, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z0)| / 24 = 1/24. Otherwise, there exists z1 such that |z1 − z0| < 1/4 and |f′(z1)| > 2|f'(z0)|. Wenn |f'(z)| ≤ 2|f'(z1)| zum |z − z1| < 1/8, then by the first case, the range of f contains a disk of radius |f′(z1)| / 48 > |f'(z0)| / 24 = 1/24. Andernfalls, es gibt z2 so dass |z2 − z1| < 1/8 and |f′(z2)| > 2|f'(z1)|.

Wiederholen Sie dieses Argument, wir finden entweder mindestens eine Scheibe mit Radius 1/24 im Bereich f, Beweis des Satzes, oder finden Sie eine unendliche Folge (zn) so dass |zn - zn − 1| < 1/2n+1 and |f′(zn)| > 2|f'(zn−1)|. Im letzteren Fall ist die Sequenz in D(0, 1/2), also ist f′ in D unbeschränkt(0, 1/2), ein Widerspruch.

Bloch's Theorem In the proof of Landau's Theorem above, Der Satz von Rouché impliziert, dass wir nicht nur eine Scheibe D mit mindestens Radius finden können 1/24 im Bereich f, aber es gibt auch eine kleine Scheibe D0 innerhalb der Einheitsscheibe, so dass es für jedes w ∈ D ein eindeutiges z ∈ D0 mit f gibt(z) = w. Daher, f ist eine bijektive analytische Funktion aus D0 ∩ f−1(D) zu D, also ist seine Umkehrung φ auch nach dem Umkehrfunktionssatz analytisch.

Bloch's and Landau's constants The number B is called the Bloch's constant. Die untere Grenze 1/72 im Satz von Bloch ist nicht die bestmögliche. Bloch's theorem tells us B ≥ 1/72, aber der genaue Wert von B ist noch unbekannt.

Die derzeit bekanntesten Schranken für B sind {Anzeigestil 0,4332ca {frac {quadrat {3}}{4}}+2mal 10^{-4}leq bleq {quadrat {frac {{quadrat {3}}-1}{2}}}cdot {frac {Gamma ({frac {1}{3}})Gamma ({frac {11}{12}})}{Gamma ({frac {1}{4}})}}ca 0.4719,} wobei Γ die Gamma-Funktion ist. Die untere Schranke wurde von Chen und Gauthier bewiesen, und die obere Grenze geht auf Ahlfors und Grunsky zurück.

Die ähnlich definierte optimale Konstante L im Satz von Landau heißt Landau-Konstante. Sein genauer Wert ist ebenfalls unbekannt, aber das ist ja bekannt {Anzeigestil 0.5

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