Teorema de Birkhoff-Grothendieck

Teorema de Birkhoff-Grothendieck Em matemática, o teorema de Birkhoff-Grothendieck classifica fibrados vetoriais holomórficos sobre a linha projetiva complexa. Em particular, todo fibrado vetorial holomórfico sobre {estilo de exibição mathbb {PC} ^{1}} é uma soma direta de fibrados de linha holomórficos. The theorem was proved by Alexander Grothendieck (1957,Teorema 2.1),[1] and is more or less equivalent to Birkhoff factorization introduced by George David Birkhoff (1909).[2] Conteúdo 1 Declaração 2 Generalização 3 Formulários 4 Veja também 5 Referências 6 Further reading Statement More precisely, o enunciado do teorema é o seguinte.

Todo pacote vetorial holomórfico {estilo de exibição {matemática {E}}} sobre {estilo de exibição mathbb {PC} ^{1}} é holomorficamente isomorfo a uma soma direta de fibrados de linha: {estilo de exibição {matemática {E}}cong {matemática {O}}(uma_{1})oplus cdots oplus {matemática {O}}(uma_{n}).} A notação implica que cada soma é uma torção de Serre algumas vezes do feixe trivial. A representação é única até fatores de permuta.

Generalization The same result holds in algebraic geometry for algebraic vector bundle over {estilo de exibição mathbb {P} _{k}^{1}} para qualquer campo {estilo de exibição k} .[3] Também vale para {estilo de exibição mathbb {P} ^{1}} com um ou dois pontos orbifold, e para cadeias de linhas projetivas que se encontram ao longo de nós. [4] Applications One application of this theorem is it gives a classification of all coherent sheaves on {estilo de exibição mathbb {PC} ^{1}} . Temos dois casos, fibrados vetoriais e feixes coerentes apoiados ao longo de uma subvariedade, assim {estilo de exibição {matemática {O}}(k),{matemática {O}}_{np}} onde n é o grau do ponto de gordura em {estilo de exibição x} . Como as únicas subvariedades são pontos, temos uma classificação completa de feixes coerentes.

Veja também Geometria algébrica de espaços projetivos Sequência de Euler Princípio de divisão Teoria K Linha de salto Referências ^ Grothendieck, Alexandre (1957). "Sobre a classificação de fibrados holomórficos na esfera de Riemann". Revista Americana de Matemática. 79 (1): 121-138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388. S2CID 120532002. ^ Birkhoff, George David (1909). "Pontos singulares de equações diferenciais lineares ordinárias". Transações da American Mathematical Society. 10 (4): 436-470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594. ^ Hazewinkel, Michael; Martinho, Clyde F. (1982). "Uma pequena prova elementar do teorema de Grothendieck em pacotes vetoriais algébricos sobre a linha projetiva". Jornal de Álgebra Pura e Aplicada. 25 (2): 207-211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8. ^ Martens, João; Tadeu, Michael (2016). "Variações sobre um tema de Grothendieck". Composição matemática. 152: 62-98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554. Leitura adicional Okonek, cristão; Schneider, Michael; Spindler, Heinz (1980). Pacotes de vetores em espaços projetivos complexos. Clássicos modernos de Birkhäuser. Birkhauser Basileia. doi:10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8. hide vte Topics in algebraic curves Rational curves Five points determine a conicProjective lineRational normal curveRiemann sphereTwisted cubic Elliptic curves Analytic theory Elliptic functionElliptic integralFundamental pair of periodsModular form Arithmetic theory Counting points on elliptic curvesDivision polynomialsHasse's theorem on elliptic curvesMazur's torsion theoremModular elliptic curveModularity theoremMordell–Weil theoremNagell–Lutz theoremSupersingular elliptic curveSchoof's algorithmSchoof–Elkies–Atkin algorithm Applications Elliptic curve cryptographyElliptic curve primality Higher genus De Franchis theoremFaltings's theoremHurwitz's automorphisms theoremHurwitz surfaceHyperelliptic curve Plane curves AF+BG theoremBézout's theoremBitangentCayley–Bacharach theoremConic sectionCramer's paradoxCubic plane curveFermat curveGenus–degree formulaHilbert's sixteenth problemNagata's conjecture on curvesPlücker formulaQuartic plane curveReal plane curve Riemann surfaces Belyi's theoremBring's curveBolza surfaceCompact Riemann surfaceDessin d'enfantDifferential of the first kindKlein quarticRiemann's existence theoremRiemann–Roch theoremTeichmüller spaceTorelli theorem Constructions Dual curvePolar curveSmooth completion Structure of curves Divisors on curves Abel–Jacobi mapBrill–Noether theoryClifford's theorem on special divisorsGonality of an algebraic curveJacobian varietyRiemann–Roch theoremWeierstrass pointWeil reciprocity law Moduli ELSV formulaGromov–Witten invariantHodge bundleModuli of algebraic curvesStable curve Morphisms Hasse–Witt matrixRiemann–Hurwitz formulaPrym varietyWeber's theorem Singularities AcnodeCrunodeCuspDelta invariantTacnode Vector bundles Birkhoff–Grothendieck theoremStable vector bundleVector bundles on algebraic curves This topology-related article is a stub. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-a.

Categorias: Feixes de vetoresTeoremas em geometria projetivaTeoremas em geometria algébricaTeoremas em geometria complexaTocos de topologia