Teorema di Birkhoff-Grothendieck

Teorema di Birkhoff-Grothendieck In matematica, il teorema di Birkhoff-Grothendieck classifica i fasci vettoriali olomorfi sulla complessa linea proiettiva. In particolare ogni bundle di vettori olomorfi {displaystyle mathbb {CP} ^{1}} è una somma diretta di fasci di linee olomorfe. The theorem was proved by Alexander Grothendieck (1957,Teorema 2.1),[1] and is more or less equivalent to Birkhoff factorization introduced by George David Birkhoff (1909).[2] Contenuti 1 Dichiarazione 2 Generalizzazione 3 Applicazioni 4 Guarda anche 5 Riferimenti 6 Further reading Statement More precisely, l'affermazione del teorema è la seguente.

Ogni fascio di vettori olomorfi {stile di visualizzazione {matematico {e}}} Su {displaystyle mathbb {CP} ^{1}} è olomorficamente isomorfa a una somma diretta di fasci di linee: {stile di visualizzazione {matematico {e}}cong {matematico {o}}(un_{1})oplus cdots oplus {matematico {o}}(un_{n}).} La notazione implica che ogni sommando sia una torsione Serre un certo numero di volte del bundle banale. La rappresentazione è unica fino a fattori di permutazione.

Generalization The same result holds in algebraic geometry for algebraic vector bundle over {displaystyle mathbb {P} _{K}^{1}} per qualsiasi campo {stile di visualizzazione k} .[3] Vale anche per {displaystyle mathbb {P} ^{1}} con uno o due punti orbifold, e per catene di linee proiettive che si incontrano lungo i nodi. [4] Applications One application of this theorem is it gives a classification of all coherent sheaves on {displaystyle mathbb {CP} ^{1}} . Abbiamo due casi, fasci vettoriali e fasci coerenti supportati lungo una sottovarietà, Così {stile di visualizzazione {matematico {o}}(K),{matematico {o}}_{np}} dove n è il grado del punto di grasso a {stile di visualizzazione x} . Poiché le uniche sottovarietà sono i punti, abbiamo una classificazione completa dei covoni coerenti.

Vedi anche Geometria algebrica degli spazi proiettivi Sequenza di Eulero Principio di scissione Teoria K Linea di salto Bibliografia ^ Grothendieck, Alessandro (1957). "Sulla classificazione dei fasci olomorfi sulla sfera di Riemann". Giornale americano di matematica. 79 (1): 121–138. doi:10.2307/2372388. JSTOR 2372388. S2CID 120532002. ^ Birkhoff, Giorgio David (1909). "Punti singolari di equazioni differenziali lineari ordinarie". Transazioni dell'American Mathematical Society. 10 (4): 436–470. doi:10.2307/1988594. ISSN 0002-9947. JFM 40.0352.02. JSTOR 1988594. ^ Hazewinkel, Michael; Martino, Clyde F. (1982). "Una breve dimostrazione elementare del teorema di Grothendieck sui bundle vettoriali algebrici sulla retta proiettiva". Diario di algebra pura e applicata. 25 (2): 207–211. doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8. ^ Marte, Giovanni; Taddeo, Michael (2016). "Variazioni su un tema di Grothendieck". Composizione matematica. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. doi:10.1112/S0010437X15007484. S2CID 119716554. Ulteriori letture Okonek, cristiano; Schneider, Michael; Fuso, Heinz (1980). Pacchetti vettoriali su spazi proiettivi complessi. Moderni Birkhäuser Classici. Birkhauser Basilea. doi:10.1007/978-3-0348-0151-5. ISBN 978-3-0348-0150-8. hide vte Topics in algebraic curves Rational curves Five points determine a conicProjective lineRational normal curveRiemann sphereTwisted cubic Elliptic curves Analytic theory Elliptic functionElliptic integralFundamental pair of periodsModular form Arithmetic theory Counting points on elliptic curvesDivision polynomialsHasse's theorem on elliptic curvesMazur's torsion theoremModular elliptic curveModularity theoremMordell–Weil theoremNagell–Lutz theoremSupersingular elliptic curveSchoof's algorithmSchoof–Elkies–Atkin algorithm Applications Elliptic curve cryptographyElliptic curve primality Higher genus De Franchis theoremFaltings's theoremHurwitz's automorphisms theoremHurwitz surfaceHyperelliptic curve Plane curves AF+BG theoremBézout's theoremBitangentCayley–Bacharach theoremConic sectionCramer's paradoxCubic plane curveFermat curveGenus–degree formulaHilbert's sixteenth problemNagata's conjecture on curvesPlücker formulaQuartic plane curveReal plane curve Riemann surfaces Belyi's theoremBring's curveBolza surfaceCompact Riemann surfaceDessin d'enfantDifferential of the first kindKlein quarticRiemann's existence theoremRiemann–Roch theoremTeichmüller spaceTorelli theorem Constructions Dual curvePolar curveSmooth completion Structure of curves Divisors on curves Abel–Jacobi mapBrill–Noether theoryClifford's theorem on special divisorsGonality of an algebraic curveJacobian varietyRiemann–Roch theoremWeierstrass pointWeil reciprocity law Moduli ELSV formulaGromov–Witten invariantHodge bundleModuli of algebraic curvesStable curve Morphisms Hasse–Witt matrixRiemann–Hurwitz formulaPrym varietyWeber's theorem Singularities AcnodeCrunodeCuspDelta invariantTacnode Vector bundles Birkhoff–Grothendieck theoremStable vector bundleVector bundles on algebraic curves This topology-related article is a stub. Puoi aiutare Wikipedia espandendolo.

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